Compruebo mis aprendizajes: sistemas de ecuaciones lineales

\begin{cases} 2x+y=15\\ 5x+10y=45 \end{cases}

De la primera ecuación, y=15-2x. Sustituyendo: 5x+10(15-2x)=45 -15x=-105\quad\Rightarrow\quad x=7 y=15-2(7)=1 Por tanto, (x,y)=(7,1).

\begin{cases} 7x-2y=15\\ 3x+4y=21 \end{cases}

Multiplicando la primera ecuación por 2 y sumando: 14x-4y+3x+4y=30+21 17x=51\quad\Rightarrow\quad x=3 3(3)+4y=21\quad\Rightarrow\quad y=3 Por tanto, (x,y)=(3,3).

\begin{cases} 4x+6y=44\\ 2x-2y=2 \end{cases}

La segunda ecuación se simplifica a x-y=1, de donde x=y+1. Sustituyendo en la primera: 4(y+1)+6y=44 10y=40\quad\Rightarrow\quad y=4 x=4+1=5 Por tanto, (x,y)=(5,4).

\begin{cases} 4x+8y=24\\ 4x+4y=20 \end{cases}

Restando la segunda ecuación de la primera: 4y=4\quad\Rightarrow\quad y=1 Luego: 4x+4(1)=20\quad\Rightarrow\quad x=4 Por tanto, (x,y)=(4,1).

\begin{cases} 2x+8y=34\\ 3x+10y=43 \end{cases}

Dividiendo la primera ecuación entre 2, se obtiene x+4y=17, por lo que x=17-4y. Sustituyendo: 3(17-4y)+10y=43 -2y=-8\quad\Rightarrow\quad y=4 x=17-4(4)=1 Por tanto, (x,y)=(1,4).

\begin{cases} 9x+3y=30\\ 8x+3y=28 \end{cases}

Restando la segunda ecuación de la primera: x=2 Sustituyendo: 8(2)+3y=28\quad\Rightarrow\quad y=4 Por tanto, (x,y)=(2,4).

\begin{cases} 8x+y=13\\ 8x+y=13 \end{cases}

Las dos ecuaciones son iguales, por lo que representan la misma recta. El sistema tiene infinitas soluciones: y=13-8x

\begin{cases} 10x-4y=42\\ 5x-4y=7 \end{cases}

Restando la segunda ecuación de la primera: 5x=35\quad\Rightarrow\quad x=7 Sustituyendo: 5(7)-4y=7\quad\Rightarrow\quad y=7 Por tanto, (x,y)=(7,7).

Sea L la edad de Lucía y R la edad de Lorena: \begin{cases} L+R=52\\ L+4=2(R+4) \end{cases} La segunda ecuación se transforma en L-2R=4. Como L=52-R: 52-R-2R=4 R=16,\qquad L=36 Lucía tiene 36 años y Lorena tiene 16 años.

Sea M el ahorro mayor y F el menor: \begin{cases} M+F=68\\ M-F=2 \end{cases} Sumando las ecuaciones: 2M=70\quad\Rightarrow\quad M=35 Entonces F=68-35=33. Micaela tiene 35 dólares y Fabricio 33 dólares, si se considera que Micaela posee el ahorro mayor.

Sean x y y los precios originales del primer y segundo equipo: \begin{cases} x+y=1500\\ 0.90x+0.85y=1300 \end{cases} De la primera ecuación, x=1500-y. Sustituyendo: 0.90(1500-y)+0.85y=1300 1350-0.05y=1300 y=1000,\qquad x=500 El primer equipo costaba \500 y el segundo 1000.