Ministerio de Educación del Ecuador

176/255

Función cuadrática

📄 ejemplo Matemática 🎓 secundaria · 10° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

Página 176

176 de 255

Anterior Página 176 / 255 Siguiente

Respuesta rápida

Área de la piscina cuadrangular: $A=l^2$ . Área del rectángulo: $A(x)=x^2+7x$ . Para $A=30\ \text{cm}^2$ , $x=3\ \text{cm}$ . Para $A=120\ \text{cm}^2$ , $x=8\ \text{cm}$ .

Matemática ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 176

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Saberes previos

Si una piscina tiene forma cuadrangular y cada lado mide $l$ , su área se determina multiplicando lado por lado:

$A=l\cdot l=l^2$

Ejemplo del rectángulo

Al aumentar en $7\ \text{cm}$ un lado de un cuadrado de longitud $x$ , el rectángulo tiene dimensiones $x$ y $x+7$ . Por tanto:

$A(x)=x(x+7)=x^2+7x$

Esta es una función cuadrática porque tiene la forma:

$f(x)=ax^2+bx+c,\qquad a\ne 0$

En este caso, $a=1$ , $b=7$ y $c=0$ .

Tabla de valores

Evaluamos $A(x)=x^2+7x$ :

Para $x=0$ : $A(0)=0^2+7(0)=0\ \text{cm}^2$ .
Para $x=1$ : $A(1)=1^2+7(1)=8\ \text{cm}^2$ .
Para $x=2$ : $A(2)=2^2+7(2)=18\ \text{cm}^2$ .
Para $x=3$ : $A(3)=3^2+7(3)=30\ \text{cm}^2$ .
Para $x=4$ : $A(4)=4^2+7(4)=44\ \text{cm}^2$ .
Para $x=5$ : $A(5)=5^2+7(5)=60\ \text{cm}^2$ .

Los puntos obtenidos son $(0,0)$ , $(1,8)$ , $(2,18)$ , $(3,30)$ , $(4,44)$ y $(5,60)$ . Al representarlos, forman parte de una parábola.

Valores solicitados

Para determinar cuándo el área es $30\ \text{cm}^2$ :

$x^2+7x=30$ $x^2+7x-30=0$ $(x+10)(x-3)=0$

Así, $x=-10$ o $x=3$ . Como una longitud no puede ser negativa, $x=3\ \text{cm}$ .

Para determinar cuándo el área es $120\ \text{cm}^2$ :

$x^2+7x=120$ $x^2+7x-120=0$ $(x+15)(x-8)=0$

Así, $x=-15$ o $x=8$ . Se descarta el valor negativo; por tanto, $x=8\ \text{cm}$ .

Características de una función cuadrática

Si $a>0$ , la parábola es cóncava hacia arriba y tiene un mínimo.
Si $a<0$ , la parábola es cóncava hacia abajo y tiene un máximo.
Los cortes con el eje $x$ se obtienen resolviendo $ax^2+bx+c=0$ .
El corte con el eje $y$ es $(0,c)$ .
El eje de simetría es:

$x=-\frac{b}{2a}$

El vértice es:

$V=\left(-\frac{b}{2a},f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$

El dominio de una función cuadrática es $\mathbb{R}$ .
Para $f(x)=ax^2$ , el recorrido es $\mathbb{R}^{+}\cup\{0\}$ si $a>0$ y $\mathbb{R}^{-}\cup\{0\}$ si $a<0$ .

Contenido de la página

Definición

Una función cuadrática tiene la forma $f(x)=ax^2+bx+c$ , donde $a$ , $b$ y $c$ son números reales y $a\ne 0$ . Su gráfica es una parábola.

Ejemplo geométrico

Si un cuadrado de lado $x$ aumenta uno de sus lados en $7\ \text{cm}$ , se obtiene un rectángulo de lados $x$ y $x+7$ . Su área es $A(x)=x^2+7x$ .

Características

La concavidad depende del signo de $a$ . El eje de simetría es $x=-\frac{b}{2a}$ y el vértice es $V=\left(-\frac{b}{2a},f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$ . El dominio de una función cuadrática es $\mathbb{R}$ .

Ejemplos resueltos

Un cuadrado de lado $x$ aumenta uno de sus lados en $7\ \text{cm}$ . Determina el área del rectángulo resultante.

Los lados del rectángulo son $x$ y $x+7$ . Entonces, $A(x)=x(x+7)=x^2+7x$ .

¿Para qué valor de $x$ el área $A(x)=x^2+7x$ es $30\ \text{cm}^2$ ?

$x^2+7x=30$ , por lo que $x^2+7x-30=0=(x+10)(x-3)$ . Las soluciones son $x=-10$ y $x=3$ ; se conserva $x=3\ \text{cm}$ por representar una longitud.

¿Para qué valor de $x$ el área $A(x)=x^2+7x$ es $120\ \text{cm}^2$ ?

$x^2+7x=120$ , por lo que $x^2+7x-120=0=(x+15)(x-8)$ . Las soluciones son $x=-15$ y $x=8$ ; se conserva $x=8\ \text{cm}$ .

Tabla

$x$ (cm)	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$A$ (cm²)	$0$	$8$	$18$	$30$	$44$	$60$

Fórmulas y ecuaciones

$A=l^2$

$A(x)=x^2+7x$

$x=-\frac{b}{2a}$

$V=\left(-\frac{b}{2a},f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$

$f(x)=ax^2+bx+c$

$A(x)=x(x+7)=x^2+7x$

x=- $\frac{b}{2a}$

$V=\left(-@@MATH_0@@,f\left(-@@MATH_1@@\right)\right)$

Glosario (5)

Función cuadrática: Función polinómica de segundo grado cuya expresión es $f(x)=ax^2+bx+c$, con $a\ne 0$.
Parábola: Curva que representa gráficamente una función cuadrática.
Concavidad: Orientación de la parábola; es hacia arriba cuando $a>0$ y hacia abajo cuando $a<0$.
Vértice: Punto extremo de la parábola y punto donde corta a su eje de simetría.
Eje de simetría: Recta vertical que divide la parábola en dos partes simétricas.

Preguntas para practicar

¿Cómo determinarías el área del piso de una piscina cuadrangular?

¿Qué efecto produce cambiar el signo del coeficiente $a$ en una función cuadrática?

Temas y conceptos clave

Definición de función cuadráticaÁrea expresada mediante una función cuadráticaRepresentación gráfica con una parábolaCaracterísticas de la parábolaFunción cuadráticaParábolaConcavidadCorte con los ejesEje de simetríaVérticeDominioRecorrido

¿Te fue útil esta página?

Figuras de la página (2)

Diagrama de un rectángulo cuyos lados son $x$ y $x+7\ \text{cm}$. — Figura 2 image

Gráfica creciente de la función $A(x)=x^2+7x$. — Figura 3 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se identifica una función cuadrática?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se calcula el vértice de una parábola?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo saber si una parábola es cóncava hacia arriba o hacia abajo?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Operaciones con números reales
• Productos notables y factorización
• Ubicación de puntos en el plano cartesiano
• Cálculo del área de rectángulos y cuadrados

Siguiente tema sugerido

Dominio, recorrido, monotonía, máximos y mínimos de una función cuadrática

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 2334 caracteres

Tema 1 Función cuadrática

Infiere, ¿Cómo determinas el área del piso de una piscina cuadrangular?

Una función cuadrática definida f(x) = IR > R es de la forma f(x) = ax? + bx +c, con a, by c números reales y a # 0. Su gráfica es una parábola.

El lienzo cuadrado de una pintura se aumenta sus lados paralelos en 7 cm, con lo cual se obtiene un rectángulo. ¿Cuál es el área del rectángulo en función del lado x?

El área del rectángulo es: A=(x+7)x;A=x?+7x x Conbase en esta función, calculamos lo siguiente: El área del rectángulo cuando x=0, 1, 2,3, 4 y 5 cm.

176

P Tam Elaboramos una tabla.

A(cmi)

Graficamos los puntos antes encontrados y respondemos. ¿Para qué valor de x el área es 30 cm?? Para x= 3 cm ¿Para qué valor de x el área es de 120cm?? Parax=8cm

La ecuación que representa el área del rectángulo en función de x es una función cuadrática. A(x) = x? + 7x;en donde: a=1,b=7yc=0

2.4 6 8 10 x(cm)

Representación gráfica de la función cuadrática y características

Gráfica | Características

160 | Concavidad: esta orientación depende del signo del término cuadrático ax?. | 7he (69=0x* | 6 Sia>0(positivo), la parábola es cóncava hacia arriba y tiene un mínimo | E p y | 6te | que es el vértice. | a . 4 , pained a | ¥<0 Sty a>0 il + — Sia<0 (negativo), la parábola es cóncava hacia abajo y tiene un máximo | Curva di Cóncava | vérti | decreciente 415 hacia arriba | que es el vértice, | 3 | | Cortes de la parábola con los ejes coordenados: son los puntos donde la | 2 x>o0 | | función es cero. Para hallar el corte con el eje x, se tiene | vértice H HRs || fo) = Oy se resuelve la ecuación ax? + bx + c= 0.

5 Curva | b b | decreciente | como coordenadas: V} -—,f| -— | |. | Re | 2a 2a | | nt fx) =-ax | La función f(x) = ax? tiene: Dominio: R Recorrido: R* U {o}, sia>06R U {o}, sia<0 Archivo editorial.

M.4.1.57. Definir y reconocer una función cuadrática de manera algebraica y gráfica, determinando sus características: dominio, recorrido, monotonía, máximos, mínimos y paridad,

Páginas cercanas