Evaluación de congruencia de triángulos y aplicación de sistemas de ecuaciones

Resolución

• a) Verdadera. Si dos triángulos tienen sus tres lados respectivamente iguales, son congruentes por el criterio LLL.
• b) Falsa. Si dos triángulos tienen sus tres ángulos iguales, son semejantes, pero no necesariamente congruentes.
• c) Falsa. La congruencia conserva la forma y el tamaño; la semejanza conserva la forma, pero no necesariamente el tamaño.
• d) Verdadera. LAL significa lado-ángulo-lado y es un criterio de congruencia.

Como el triángulo ABC es isósceles, sus lados iguales permiten establecer la correspondencia con los lados marcados del triángulo DEF. Además, las marcas del dibujo indican la igualdad de los ángulos correspondientes y del lado comprendido. Por el criterio de congruencia correspondiente, los triángulos son congruentes:

\triangle ABC \cong \triangle FED

En consecuencia, sus lados y ángulos correspondientes tienen la misma medida.

El triángulo ABC es rectángulo en C y tiene \angle A=40^\circ. Por tanto:

\angle B=180^\circ-90^\circ-40^\circ=50^\circ

Como AD\cong CD, el triángulo ACD es isósceles. Sus ángulos de la base son iguales:

\angle A=\angle ACD=40^\circ

Además, como DB\cong DC, el triángulo DBC es isósceles. El ángulo exterior en D del triángulo ACD mide:

\angle BDC=180^\circ-100^\circ=80^\circ

Entonces, los ángulos de la base del triángulo DBC miden:

x=\angle BCD=\frac{180^\circ-80^\circ}{2}=50^\circ

Sean c los kilogramos de cacao y f los kilogramos de café.

El tiempo de secado disponible es:

3375\times60=202500\text{ minutos}

El tiempo de trituración disponible es:

3340\times60=200400\text{ minutos}

El sistema es:

45c+75f=202500

58c+63f=200400

Simplificamos la primera ecuación entre 15:

3c+5f=13500

Despejamos c:

c=\frac{13500-5f}{3}

Sustituimos en la segunda ecuación:

58\left(\frac{13500-5f}{3}\right)+63f=200400

Multiplicando por 3:

783000-290f+189f=601200

-101f=-181800

f=1800

Reemplazamos este valor:

3c+5(1800)=13500

3c=4500

c=1500

La fábrica produce mensualmente 1500 kg de cacao y 1800 kg de café.

Los lados correspondientes tienen las mismas marcas:

• Un lado con una marca corresponde a un lado con una marca.
• Un lado con dos marcas corresponde a un lado con dos marcas.
• Un lado con tres marcas corresponde a un lado con tres marcas.

Por el criterio LLL, los triángulos son congruentes. Una correspondencia válida es:

\triangle PRS\cong\triangle VTU

Una respuesta posible es: “Me siento alegre y motivado. Les diría a mis compañeros que sigamos trabajando juntos, que valoremos nuestros logros y que mantengamos una actitud positiva”.

Esta actividad es personal. Cada estudiante debe pintar la columna que represente su nivel de dominio: puedo ayudar a otros, resuelvo por mí mismo, necesito ayuda o estoy en proceso.

Metacognición

Una respuesta posible para la primera pregunta es: “Lo más relevante fue aprender a reconocer triángulos congruentes y a resolver problemas mediante sistemas de ecuaciones”.

Una respuesta posible para la segunda pregunta es: “Puedo aplicar lo aprendido para comparar medidas, calcular distancias y resolver situaciones de producción, compras o distribución de recursos”.