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Desplazamientos de la función cuadrática

📄 ejemplo Matemática 🎓 secundaria · 10° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

• $x^2+3$ : desplazamiento vertical de $3$ unidades hacia arriba; vértice $(0,3)$ ; recorrido $[3,+\infty)$ .

• $x^2-2$ : desplazamiento vertical de $2$ unidades hacia abajo; vértice $(0,-2)$ ; recorrido $[-2,+\infty)$ .

• $(x+4)^2$ : desplazamiento de $4$ unidades a la izquierda; vértice $(-4,0)$ .

• $(x-2)^2$ : desplazamiento de $2$ unidades a la derecha; vértice $(2,0)$ .

• Para $y=x^2-2x-3$ : concavidad hacia arriba, eje $x=1$ , vértice $(1,-4)$ , dominio $\mathbb{R}$ y recorrido $[-4,+\infty)$ .

Matemática ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 177

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Desplazamiento vertical

La función cuadrática básica es $y=x^2$ , cuya parábola tiene vértice en $(0,0)$ y abre hacia arriba.

En $y=x^2+c$ , si $c>0$ , la gráfica se desplaza $c$ unidades hacia arriba.
En $y=x^2+c$ , si $c<0$ , la gráfica se desplaza $|c|$ unidades hacia abajo.
El vértice es $(0,c)$ .
El eje de simetría es el eje $y$ , cuya ecuación es $x=0$ .
El dominio son todos los números reales: $\mathbb{R}$ .
Si la parábola abre hacia arriba, el recorrido es $[c,+\infty)$ ; si abre hacia abajo, es $(-\infty,c]$ .

Para las funciones indicadas:

$f(x)=x^2+3$

La gráfica de $y=x^2$ se desplaza $3$ unidades hacia arriba. Su vértice es $(0,3)$ , su dominio es $\mathbb{R}$ y su recorrido es $[3,+\infty)$ .

$g(x)=x^2-2$

La gráfica de $y=x^2$ se desplaza $2$ unidades hacia abajo. Su vértice es $(0,-2)$ , su dominio es $\mathbb{R}$ y su recorrido es $[-2,+\infty)$ .

Desplazamiento horizontal

En la función $y=(x+h)^2$ :

Si $h>0$ , la parábola se desplaza $h$ unidades hacia la izquierda.
Si $h<0$ , la parábola se desplaza $|h|$ unidades hacia la derecha.

Así:

$y=(x+4)^2$

se desplaza $4$ unidades a la izquierda y tiene vértice $(-4,0)$ .

$y=(x-2)^2$

se desplaza $2$ unidades a la derecha y tiene vértice $(2,0)$ .

Ejemplo: $y=x^2-2x-3$

Identificamos los coeficientes:

$a=1,\qquad b=-2,\qquad c=-3.$

Como $a=1>0$ , la parábola tiene concavidad hacia arriba.
Calculamos la coordenada $x$ del vértice:

$x_v=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2(1)}=1.$

Calculamos la coordenada $y$ del vértice:

$y_v=f(1)=1^2-2(1)-3=1-2-3=-4.$

Por tanto, el vértice es:

$V(1,-4).$

El eje de simetría pasa por el vértice y es:

$x=1.$

Como la parábola abre hacia arriba, su valor mínimo es $-4$ . Por ello:

Dominio: $\mathbb{R}$ .
Recorrido: $[-4,+\infty)$ .

Una tabla de valores puede ser:

$x$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y=x^2-2x-3$	$0$	$-3$	$-4$	$-3$	$0$

Los valores equidistantes del eje $x=1$ producen la misma ordenada, lo que confirma la simetría de la parábola.

Contenido de la página

Desplazamientos verticales

La función $f(x)=ax^2+c$ se obtiene al sumar la constante $c$ a la función $ax^2$ . Si $c$ es positiva, la gráfica sube; si es negativa, baja.

Desplazamientos horizontales

La función $f(x)=(x+h)^2$ se obtiene al modificar el interior del cuadrado. Si $h>0$ , la gráfica se desplaza a la izquierda; si $h<0$ , se desplaza a la derecha.

Análisis de $y=x^2-2x-3$

La función tiene $a=1$ , $b=-2$ y $c=-3$ . Como $a>0$ , abre hacia arriba. Su vértice es $(1,-4)$ y su eje de simetría es $x=1$ . El dominio es $\mathbb{R}$ y el recorrido es $[-4,+\infty)$ .

Ejemplos resueltos

Analizar la función $y=x^2-2x-3$ .

Se identifican $a=1$ , $b=-2$ y $c=-3$ . Como $a>0$ , la parábola abre hacia arriba. El vértice es $V(1,-4)$ porque $x_v=-\frac{-2}{2(1)}=1$ y $y_v=f(1)=-4$ . El eje de simetría es $x=1$ , el dominio es $\mathbb{R}$ y el recorrido es $[-4,+\infty)$ .

Tabla

| $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ $|\n|---|---:|---:|---:|---:|---:|\n|$ $y=x^2-2x-3$ | $0$ | $-3$ | $-4$ | $-3$ | $0$ |

Fórmulas y ecuaciones

$x_v=-\frac{b}{2a}$

Para $f(x)=ax^2+c$ , el vértice es $(0,c)$ .

Si $a>0$ , el recorrido es $[y_v,+\infty)$ .

Si $a<0$ , el recorrido es $(-\infty,y_v]$ .

$f(x)=ax^2+c$

$f(x)=(x+h)^2$

$x_v=-$ $\frac{b}{2a}$

$y_v=f(x_v)$

$y=x^2-2x-3$

Glosario (5)

Desplazamiento vertical: Movimiento de una gráfica hacia arriba o hacia abajo sin cambiar su forma.
Desplazamiento horizontal: Movimiento de una gráfica hacia la izquierda o hacia la derecha sin cambiar su forma.
Vértice: Punto máximo o mínimo de una parábola.
Eje de simetría: Recta que divide la parábola en dos partes simétricas.
Recorrido: Conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente $y$.

Temas y conceptos clave

Desplazamiento vertical de una parábolaDesplazamiento horizontal de una parábolaVértice y eje de simetríaDominio y recorrido de una función cuadráticaLa expresión $x^2+c$ desplaza verticalmente la parábola.La expresión $(x+h)^2$ desplaza horizontalmente la parábola.El eje de simetría de $ax^2+c$ es $x=0$.El vértice de $ax^2+c$ es $(0,c)$.El vértice de $ax^2+bx+c$ tiene coordenada $x=-\frac{b}{2a}$.Si $a>0$, la parábola abre hacia arriba; si $a<0$, abre hacia abajo.

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Figuras de la página (2)

Gráfica comparativa de $y=x^2$, $y=(x+4)^2$ y $y=(x-2)^2$, que muestra desplazamientos horizontales. — Figura 2 image

Gráfica de $y=x^2-2x-3$ con vértice $(1,-4)$, eje de simetría $x=1$ y concavidad hacia arriba. — Figura 3 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se desplaza una parábola de la forma $y=x^2+c$?

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¿Cómo hallar el vértice y el eje de simetría de una función cuadrática?

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¿Cuál es el dominio y recorrido de una parábola?

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📌 Antes de leer esto

• Reconocer una función cuadrática.
• Ubicar puntos en el plano cartesiano.
• Evaluar una función para distintos valores de $x$.
• Identificar la concavidad según el signo de $a$.

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Forma canónica y factorización de la función cuadrática

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 2281 caracteres

Desplazamiento vertical de la función cuadrática

de la forma f(x) = ax? +

Trazamos y analizamos la gráfica de las siguientes funciones cuadráticas:

f(x) =x? + 3y g(x) =x?-2.

Tres unidades hacia arriba. Vértice (0, c): (0, 3)

Dos unidades hacia abajo. Vértice (0, -c): (0, -2)

Graficamos la función y = x?, La gráfica de y =x? + 3 indica que la gráfica inicial y = x? se desplazó hacia arriba 3 unidades.

El dominio son los R y el recorrido [3, + ©).

La gráfica de la función y = x? - 2 indica que la gráfica y = x? se desplazó hacia abajo 2 unidades.

El dominio son los R y el recorrido [-2, + oo).

En forma general, en la función f(x) = ax? + c, con a > 0 se puede decir: si c > 0, la función se desplaza c unidades hacia arriba.

Sic < 0, la función se desplaza c unidades hacia abajo.

El dominio son todos los reales, los R. El recorrido: si a > 0, y > c, sia <0, y < Cc. Eje de simetría, eje y.

Vértice (0, c).

Archivo editorial,

Desplazamiento horizontal de la función cuadrática

de la forma f(x) = (x + h)?

Trazamos y analizamos la gráfica de las siguientes funciones cuadráticas:

fix) = «+ 4), gx) = (x 2).

yaw+ay yx

| | Graficamos la función y = x?. | | La gráfica de y = (x + 4)? indica que la gráfica inicial y = x? se desplazó hacia la izquierda 4 unidades y la gráfica de y = (x — 2)? indica que se

desplazó hacia la derecha 2 unidades.

En forma general, en la función f(x) = (x + h)*. Sih > 0, se desplaza la gráfica y = x? hacia la izquierda h unidades. Si h < 0, se desplaza la

Archivo editorial.

Cuatro 4 Dos unidades inidades ala taquierd aladerecha cay=x to tt > | función inicial a la derecha h unidades. -1 Ejemplo

Graficamos la función y = x2 — 2x- 3. Luego determinamos la concavidad, eje de

simetría, vértice, dominio y recorrido de la función.

Reconocemos en la función y = x? - 2x — 3, los coeficientes: a =1,b=-2yc= f ass | b 2 | Determinamos el vértice de la parábola: x = -—-=—=1 4 | a 2 SERS | b ot 1s | f| -—= |=F(1) =1-2()-3=- 4;V(1,-4) AE creciente 2a 1 É {1, +0) | : sz F F A 2 EEES q E Fo ud | Determinamos la ecuación del eje de simetría. x = ES 1,x=1 qa A EP | a 1) Tomamos valores de x a los dos lados del eje de simetría. Elaboramos una tabla | a | VL, 4) < Dom: todos los R de valores y graficamos. > feces) | |

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