Ministerio de Educación del Ecuador

218/255

Raíces de ecuaciones de segundo grado

📄 ejercicios Matemática 🎓 secundaria · 10° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

Página 218

218 de 255

Anterior Página 218 / 255 Siguiente

Respuesta rápida

a) Sí; b) Sí; c) No; d) No; e) No; f) Sí; g) No; h) No; i) Sí; j) Sí.
a) $x^2-6x+8=0$ ; b) $x^2+x-12=0$ ; c) $x^2-5x=0$ ; d) $x^2-2x-15=0$ ; e) $x^2-2x-48=0$ ; f) $x^2-22x+120=0$ ; g) $x^2+35x+300=0$ ; h) $x^2-2mx+m^2-n^2=0$ ; i) $x^2-8x-2=0$ ; j) $25x^2+5x-2=0$ .
a) $k=12$ o $k=-12$ ; b) $k=\frac{25}{4}$ ; c) $k=9$ ; d) $k=4$ .
a) $7$ y $\frac{1}{2}$ ; b) $6$ y $12$ ; c) $3$ y $-15$ ; d) $10+\sqrt{118}$ y $10-\sqrt{118}$ .
a) Otra raíz: $\frac{14}{3}$ ; $k=-56$ . b) $k=0$ ; las raíces son complejas, $x=\pm\frac{i}{3}$ .

📚 exercise Matemática ⭐⭐⭐⭐ Dificultad 4/5 ⏱ 25 min lectura

Solución — Página 218

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

Relaciones utilizadas

Para una ecuación $ax^2+bx+c=0$ , la suma de sus raíces es $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ y el producto es $x_1x_2=\frac{c}{a}$ . Si se conocen las raíces, la ecuación puede construirse mediante $(x-x_1)(x-x_2)=0$ .

Para que una ecuación tenga dos soluciones iguales, su discriminante debe ser cero: $\Delta=b^2-4ac=0$ .

Ejercicio 1

Comprobación de raíces

Se reemplaza cada número en la ecuación o se comparan la suma y el producto de las raíces con las relaciones de Viète. Son raíces los pares de los literales a, b, f, i y j. No son raíces los pares de c, d, e, g y h.

Ejercicio 2

Construcción de ecuaciones

Se usa $(x-x_1)(x-x_2)=0$ y se desarrolla cada producto.

Ejercicio 3

Dos soluciones iguales

Se iguala el discriminante a cero. En el literal d se considera $k\neq 0$ para que la ecuación siga siendo de segundo grado.

Ejercicio 4

Números con suma y producto conocidos

Los números buscados son las raíces de $x^2-Sx+P=0$ .

Ejercicio 5

Situaciones

En el literal a se sustituye la raíz conocida en la ecuación y luego se utiliza la suma de raíces. En el literal b, raíces iguales y opuestas tienen suma cero.

Contenido de la página

Fórmulas principales

Para $ax^2+bx+c=0$ :

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$

$x_1x_2=\frac{c}{a}$

Si se conocen las raíces $x_1$ y $x_2$ :

$x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0$

Para obtener dos soluciones iguales se cumple:

$\Delta=b^2-4ac=0$

Para números cuya suma es $S$ y cuyo producto es $P$ , se forma:

$x^2-Sx+P=0$

Ejemplos resueltos

Hallar dos números cuya suma sea $4$ y cuyo producto sea $-60$ .

Se forma $x^2-4x-60=0$ . Al factorizar: $(x-10)(x+6)=0$ . Por tanto, los números son $10$ y $-6$ .

Fórmulas y ecuaciones

$x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0$

$\Delta=0$ para raíces iguales

$x^2-Sx+P=0$ cuando se conocen la suma y el producto

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$

$x_1x_2=\frac{c}{a}$

$\Delta=b^2-4ac$

$x^2-Sx+P=0$

$(x-x_1)(x-x_2)=0$

Glosario (5)

Raíz: Valor de la variable que hace verdadera una ecuación.
Discriminante: Expresión $\Delta=b^2-4ac$ que permite conocer el tipo de soluciones de una ecuación cuadrática.
Raíces iguales: Dos soluciones que tienen el mismo valor; se presentan cuando $\Delta=0$.
Raíces opuestas: Dos raíces cuya suma es cero, como $r$ y $-r$.
Relaciones de Viète: Relaciones que vinculan los coeficientes de una ecuación cuadrática con la suma y el producto de sus raíces.

Preguntas para practicar

¿Por qué el discriminante igual a cero produce una raíz doble?

¿Cómo se relacionan los coeficientes de una ecuación cuadrática con sus raíces?

¿Qué diferencia existe entre raíces iguales y raíces opuestas?

Temas y conceptos clave

Comprobación de raícesConstrucción de ecuaciones a partir de raícesDiscriminante y raíces igualesSuma y producto de raícesAplicaciones de las relaciones de VièteRaíz de una ecuaciónSuma de raícesProducto de raícesDiscriminanteRaíces igualesRaíces opuestas

¿Te fue útil esta página?

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo saber si un número es raíz de una ecuación cuadrática?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo construir una ecuación de segundo grado a partir de sus raíces?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se utiliza el discriminante para hallar raíces iguales?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Operaciones con números enteros y fraccionarios
• Multiplicación de binomios
• Factorización de trinomios cuadráticos
• Fórmula general de la ecuación cuadrática

Siguiente tema sugerido

Resolución de ecuaciones cuadráticas mediante la fórmula general

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1432 caracteres

Taller Evaluación formativa

1M.4,3,5.

Averigua, sin resolver las ecuaciones, si los paresde | 3. Determina el valor de k en las ecuaciones para números en cada caso son raíces de la ecuación. — : que cada una tenga dos soluciones iguales. a) *+x-12=0; x=3, x=-4 d a) 9x? +kx+4=0 b) *-6x+5=0; x=1, x,=5 d EN c) 2x?4+4x-1=0; x=2 x,=-3 : b) x245x+k=0 mum sia pro eG ala e) 243x4+15=; x=-=3, x,=3 ©) x-6x+k=0 f) x2- 19x + 88=0; x=8, x=11 |

3x?- 17x+20=0; x,=-5, %,=-4 d) k?-4x+120 h) 2-12x+13=0; SA pri i) 5x-6x-8=0; x ane 7. : 4. Halla los números cuya suma $ y producto P se 5 : dan a continuación. Observa el ejemplo.
4x-12x+9=0; nos, inns ' E Ejemplo: 5 = 4, P=-60.

Construye y escribe en tu cuaderno las BON eign esuecionas septindo grads: ecuaciones de segundo grado dadas sus raices Xx -4x-60=0 en cada literal, Buscamos la solución: a) x =2yx=4 E Ge 10) +6) =0 E x,= 10; x, =-6; estos son los números buscados. b) x,=3 y x,=-4 E La suma es 4 y el producto -60. 15 7 ©) x,=0yx=5 o MN b) S=18, P=72

d) x,=-3 y x,=5

=-12, P=- dx ==. c) S , P= -45

f) x,=10 y x,=12 ee MENOS:

| 5. Resuelve las siguientes situaciones.