Indica, sin dibujarlas, en cuántos puntos cortan al eje de abscisas las parábolas: a) y=x^2-7x+3; b) y=3x^2-5x+4; c) y=2x^2-8x-8; d) y=-2x^2-x+3; e) y=3x^2-22x+35; f) y=-3x^2+5x-6; g) y=-x^2+2x+10.

a) 2; b) 0; c) 2; d) 2; e) 2; f) 0; g) 2

Analiza cada gráfica y determina el tipo de raíces de la función cuadrática.

a) 1 raíz real doble; b) 0 raíces reales; c) 2 raíces reales diferentes

Construye las ecuaciones de segundo grado dadas sus raíces: a) 8 y 4; b) 10 y 2; c) 6 y -2; d) -4 y 12.

a) x^2-12x+32=0; b) x^2-12x+20=0; c) x^2-4x-12=0; d) x^2-8x-48=0

Observa las gráficas y determina el tipo de raíces que tiene cada función.

a) Raíces reales iguales; b) Dos raíces reales diferentes

Libro de Matemática 10 EGB

Ministerio de Educación del Ecuador

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Análisis y construcción de ecuaciones de segundo grado

📄 ejercicios Matemática 🎓 secundaria · 10° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

a) Dos puntos. b) Ningún punto real. c) Dos puntos. d) Dos puntos. e) Dos puntos. f) Ningún punto real. g) Dos puntos.
a) Raíz real doble. b) Sin raíces reales. c) Dos raíces reales diferentes.
a) $x^2-12x+32=0$ . b) $x^2-12x+20=0$ . c) $x^2-4x-12=0$ . d) $x^2-8x-48=0$ .
a) Raíces reales iguales. b) Dos raíces reales diferentes.
a) Otra raíz: $4$ ; $k=20$ . b) $k=60$ .
Ecuación correcta: $x^2-10x+9=0$ ; raíces: $9$ y $1$ .

📚 exercise Matemática ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 12 min lectura

Solución — Página 219

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 6

Número de puntos de corte con el eje de abscisas

Se analiza el discriminante $\Delta=b^2-4ac$ :

Si $\Delta>0$ , hay dos puntos de corte.
Si $\Delta=0$ , hay un punto de corte.
Si $\Delta<0$ , no hay puntos de corte reales.

Ejercicio a

$y=x^2-7x+3$: $\Delta=(-7)^2-4(1)(3)=37>0$. Corta en dos puntos**.

Ejercicio b

$y=3x^2-5x+4$: $\Delta=(-5)^2-4(3)(4)=-23<0$. Corta en ningún punto real**.

Ejercicio c

$y=2x^2-8x-8$: $\Delta=(-8)^2-4(2)(-8)=128>0$. Corta en dos puntos**.

Ejercicio d

$y=-2x^2-x+3$: $\Delta=(-1)^2-4(-2)(3)=25>0$. Corta en dos puntos**.

Ejercicio e

$y=3x^2-22x+35$: $\Delta=(-22)^2-4(3)(35)=64>0$. Corta en dos puntos**.

Ejercicio f

$y=-3x^2+5x-6$: $\Delta=5^2-4(-3)(-6)=-47<0$. Corta en ningún punto real**.

Ejercicio g

$y=-x^2+2x+10$: $\Delta=2^2-4(-1)(10)=44>0$. Corta en dos puntos**.

Ejercicio 7

Tipo de raíces según la gráfica

Ejercicio a

** La parábola toca el eje de abscisas en un solo punto: tiene una raíz real doble o raíces reales iguales.

Ejercicio b

** La parábola no corta el eje de abscisas: no tiene raíces reales.

Ejercicio c

** La parábola corta el eje de abscisas en dos puntos: tiene dos raíces reales diferentes.

Ejercicio 8

Construcción de ecuaciones a partir de las raíces

Para raíces $x_1$ y $x_2$ , la ecuación mónica es:

$x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0$

Ejercicio a

** Con $x_1=8$ y $x_2=4$:

$x^2-(8+4)x+(8)(4)=0$ $x^2-12x+32=0$

Ejercicio b

** Con $x_1=10$ y $x_2=2$:

$x^2-(10+2)x+(10)(2)=0$ $x^2-12x+20=0$

Ejercicio c

** Con $x_1=6$ y $x_2=-2$:

$x^2-(6-2)x+(6)(-2)=0$ $x^2-4x-12=0$

Ejercicio d

** Con $x_1=-4$ y $x_2=12$:

$x^2-(-4+12)x+(-4)(12)=0$ $x^2-8x-48=0$

Ejercicio 9

Tipo de raíces según las gráficas

Ejercicio a

** La parábola toca el eje de abscisas en un solo punto; tiene raíces reales iguales.

Ejercicio b

** La parábola corta el eje de abscisas en dos puntos; tiene raíces reales diferentes.

Ejercicio 10

Problemas

Ejercicio a

** La ecuación es $2x^2-kx+48=0$ y una raíz es $x_1=6$. Sustituimos:

$2(6)^2-k(6)+48=0$ $72-6k+48=0$ $120-6k=0$ $k=20$

El producto de las raíces es $\frac{c}{a}=\frac{48}{2}=24$ . Por tanto: $6x_2=24$ $x_2=4$

Ejercicio b

** En $x^2-16x+k=0$, la suma de las raíces es $16$. Si se diferencian en $4$ unidades, sean $x_1=x_2+4$. Entonces:

$x_1+x_2=16$ $x_2+4+x_2=16$ $2x_2=12$ $x_2=6,\quad x_1=10$

El producto de las raíces es: $k=x_1x_2=(10)(6)=60$

Ejercicio 11

Actividad indagatoria

Las soluciones de Mateo, $8$ y $2$ , permiten obtener la suma de las raíces: $8+2=10$ . Por ello, el coeficiente lineal correcto debe ser $-10$ .

Las soluciones de Angélica, $-9$ y $-1$ , permiten obtener el producto de las raíces: $(-9)(-1)=9$ . Por ello, el término independiente correcto debe ser $9$ .

La ecuación correcta es: $x^2-10x+9=0$

Sus raíces son $x=9$ y $x=1$ .

Contenido de la página

Criterio del discriminante

El discriminante permite determinar el tipo de raíces de una ecuación cuadrática sin resolverla. Su expresión es $\Delta=b^2-4ac$ .

Construcción de una ecuación

Si se conocen las raíces $x_1$ y $x_2$ , una ecuación cuadrática mónica se obtiene mediante $(x-x_1)(x-x_2)=0$ .

Relaciones entre raíces y coeficientes

Para $ax^2+bx+c=0$ : $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ $x_1x_2=\frac{c}{a}$

Ejemplos resueltos

Construir una ecuación cuadrática cuyas raíces sean $6$ y $-2$ .

Se aplica $(x-6)(x+2)=0$ . Al desarrollar: $x^2-4x-12=0$ .

Determinar el tipo de raíces de $3x^2-5x+4=0$ .

$\Delta=(-5)^2-4(3)(4)=-23<0$ . Por tanto, la ecuación no tiene raíces reales.

Fórmulas y ecuaciones

Si $\Delta>0$ : dos raíces reales diferentes.

Si $\Delta=0$ : una raíz real doble.

Si $\Delta<0$ : ninguna raíz real.

Ecuación mónica con raíces $x_1$ y $x_2$ : $x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0$ .

$\Delta=b^2-4ac$

$x_1+x_2=-$ $\frac{b}{a}$

$x_1x_2=$ $\frac{c}{a}$

$(x-x_1)(x-x_2)=0$

Glosario (4)

Discriminante: Expresión $\Delta=b^2-4ac$ que indica el tipo y la cantidad de raíces reales de una ecuación cuadrática.
Raíz: Valor de $x$ que hace que una ecuación o función cuadrática sea igual a cero.
Raíz doble: Raíz real que se repite dos veces; gráficamente, la parábola toca el eje de abscisas en un solo punto.
Eje de abscisas: Eje horizontal de un plano cartesiano, también llamado eje $x$.

Preguntas para practicar

¿Por qué una parábola puede no cortar el eje de abscisas?

¿Cómo se relacionan la suma y el producto de las raíces con los coeficientes?

¿Qué diferencia gráfica existe entre una raíz doble y dos raíces reales diferentes?

Temas y conceptos clave

DiscriminanteTipos de raícesConstrucción de ecuaciones a partir de raícesSuma y producto de raícesInterpretación gráfica de parábolasEl discriminante es $\Delta=b^2-4ac$Si $\Delta>0$, existen dos raíces reales diferentesSi $\Delta=0$, existe una raíz real dobleSi $\Delta<0$, no existen raíces realesLa suma de las raíces es $-\frac{b}{a}$El producto de las raíces es $\frac{c}{a}$

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Figuras de la página (4)

Gráfica de una parábola que toca el eje de abscisas en un punto. — Figura 2 image

Gráfica de una parábola que corta el eje de abscisas en dos puntos. — Figura 3 image

Figura 4 de Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025 — Figura 4 image

Figura 5 de Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025 — Figura 5 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo saber cuántas raíces reales tiene una ecuación cuadrática?

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¿Cómo construir una ecuación de segundo grado con sus raíces?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo hallar una raíz desconocida usando la suma y el producto de las raíces?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Identificar los coeficientes $a$, $b$ y $c$
• Calcular potencias y productos con números enteros
• Reconocer una función cuadrática en forma general
• Interpretar los puntos de corte de una gráfica

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Resolución de ecuaciones cuadráticas mediante factorización y fórmula general

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1349 caracteres

Indica, sin dibujarlas, en cuántos puntos cortan al ¿ MU

eje de abscisas las siguientes parábolas: ¿ Trabajen en equipo y resuelvan.

a) y=x?-7x+3 E 8. Construyan las ecuaciones de segundo grado : dadas sus raíces en cada literal.

b) y=3x?-5x+4 ; a) x,=8yx,=4 : b) x,=10 y x,=2

©) y=2x?-8x-8 ©) x,=6 y x,=-2

peso anes

Observen las gráficas y determinen el tipo de raíces que tiene la función.

e) y=3x*-22x+35 a)

d) y=-2x?-x+3

f) y=- 3x? + 5x-6

{ PR

g) y=-x?+2x+10

e / AN ) 7. Analiza cada gráfica y determina el tipo de raíces : } que tiene la función cuadrática en cada caso. a 4) y e fF al S 10. Resuelvan los siguientes problemas. a) Una raíz de la ecuación 2x? — kx + 48 = 0 es 6. ¿Cuál es la otra raíz y cuál es el valor : de k? b) feo) 4 b) Determinen kenlaecuaciónx?-16x+k=0, | i : sabiendo que sus raíces se diferencian en Eee 4 unidades. | -4 7% 24 i a | | | pe | fa Actividad indagatoria

Indaga la forma de resolver el siguiente problema.

Mateo y Angélica solucionan un problema que se reduce a una ecuación de segundo grado. Mateo comete un error en el término independiente al escribir la ecuación de segundo grado y dice que las soluciones son 8 y 2. Angélica, en cambio, comete un error en el coeficiente del término lineal y dice que las soluciones son -9 y -1. ¿Cómo puedes encontrar la ecuación correcta?

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