Ministerio de Educación del Ecuador

220/255

Problemas con ecuaciones de segundo grado

📄 ejemplo Matemática 🎓 secundaria · 10° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

Página 220

220 de 255

Anterior Página 220 / 255 Siguiente

Respuesta rápida

El modelo matemático es la función cuadrática $y=0,0046x^2-0,281x+6,26$ . Un puente colgante está sostenido por cables principales y tirantes verticales.

Matemática ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 8 min lectura

Solución — Página 220

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

¿Qué es un puente colgante?

Un puente colgante es una estructura cuyo tablero está sostenido por cables principales, generalmente con forma de arco invertido, de los cuales cuelgan tirantes verticales.

Construcción del modelo matemático

Los datos de longitud del puente y altura del cable tensor se representan en un plano cartesiano. La gráfica tiene una forma semejante a una parábola, por lo que se utiliza la función cuadrática general:

$y=ax^2+bx+c$

Se seleccionan los puntos $(30,2)$ , $(38,2,30)$ y $(22,2,30)$ .

Ejercicio 1

Sustitución del punto $(30,2)$

$2=a(30)^2+b(30)+c$

$2=900a+30b+c$

Ejercicio 2

Sustitución del punto $(38,2,30)$

$2,30=a(38)^2+b(38)+c$

$2,30=1444a+38b+c$

Ejercicio 3

Sustitución del punto $(22,2,30)$

$2,30=a(22)^2+b(22)+c$

$2,30=484a+22b+c$

Por tanto, el sistema de ecuaciones es:

$egin{cases}2=900a+30b+c\\2,30=1444a+38b+c\\2,30=484a+22b+c \end{cases}$

Al resolver el sistema se obtienen, aproximadamente, los valores:

$a=0,0046,\qquad b=-0,281,\qquad c=6,26$

Así, el modelo cuadrático aproximado es:

$y=0,0046x^2-0,281x+6,26$

Esta función representa de manera aproximada la altura del cable tensor según la longitud del puente. Como $a>0$ , la parábola abre hacia arriba, lo cual coincide con la forma observada en la gráfica.

Contenido de la página

Situación inicial

Se estudia un puente colgante ubicado en la provincia de Pastaza. La longitud del puente es de $60\,\text{m}$ y se registran varias alturas del cable tensor.

Datos registrados

Longitud del puente (m)	Altura del cable tensor (m)
18	2,45
22	2,30
26	2,15
30	2,00
34	2,15
38	2,30
42	2,45

Al graficar los datos, se observa una forma parabólica. Por ello se emplea el modelo $y=ax^2+bx+c$ .

Con los puntos $(30,2)$ , $(38,2,30)$ y $(22,2,30)$ se forma un sistema de tres ecuaciones. Al resolverlo, el texto obtiene los valores aproximados $a=0,0046$ , $b=-0,281$ y $c=6,26$ .

El modelo final es:

$y=0,0046x^2-0,281x+6,26$

Ejemplos resueltos

Determinar un modelo cuadrático aproximado para los puntos $(30,2)$ , $(38,2,30)$ y $(22,2,30)$ .

Se sustituyen los puntos en $y=ax^2+bx+c$ para formar el sistema:

$\begin{cases}2=900a+30b+c\\2,30=1444a+38b+c\\2,30=484a+22b+c\end{cases}$

La solución aproximada es $a=0,0046$ , $b=-0,281$ y $c=6,26$ . Por tanto:

$y=0,0046x^2-0,281x+6,26$

Tabla

| Longitud del puente (m) | Altura del cable tensor (m) $|\n|---:|---:|\n|$ 18 | 2,45 $|\n|$ 22 | 2,30 $|\n|$ 26 | 2,15 $|\n|$ 30 | 2,00 $|\n|$ 34 | 2,15 $|\n|$ 38 | 2,30 $|\n|$ 42 | 2,45 |

Fórmulas y ecuaciones

$y=ax^2+bx+c$

$y=0,0046x^2-0,281x+6,26$

$y=ax^2+bx+c$

2=900a+30b+c

2,30=1444a+38b+c

2,30=484a+22b+c

$y=0,0046x^2-0,281x+6,26$

Glosario (5)

Puente colgante: Puente cuyo tablero está sostenido por cables principales y tirantes verticales.
Cable tensor: Cable que soporta y distribuye fuerzas dentro de una estructura.
Parábola: Curva que puede representarse mediante una función cuadrática.
Modelo matemático: Representación matemática de una situación real.
Función cuadrática: Función cuya expresión general es $y=ax^2+bx+c$, con $a\neq 0$.

Preguntas para practicar

¿Por qué la forma del cable tensor puede aproximarse mediante una parábola?

¿Qué significado tienen las variables $x$ y $y$ en este modelo?

¿El modelo representa exactamente todos los datos o solo los aproxima?

Temas y conceptos clave

Puentes colgantesModelos matemáticosFunciones cuadráticasSistemas de tres ecuacionesUn cable tensor puede modelarse mediante una parábola.La función cuadrática tiene la forma $y=ax^2+bx+c$.Tres puntos permiten formar un sistema de tres ecuaciones.El modelo obtenido es una aproximación de los datos reales.

¿Te fue útil esta página?

Figuras de la página (2)

Fotografía del puente Akashi Kaikyō, en Japón. — Figura 2 image

Gráfica de dispersión que muestra los datos del cable tensor con una forma aproximadamente parabólica. — Figura 3 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se obtiene la ecuación de una parábola con tres puntos?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué representa cada coeficiente de una función cuadrática?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se resuelve un sistema de tres ecuaciones lineales?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Reconocer coordenadas cartesianas
• Evaluar una expresión algebraica
• Resolver sistemas de ecuaciones lineales
• Identificar la forma general de una función cuadrática

Siguiente tema sugerido

Resolución y aplicación de ecuaciones cuadráticas

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 2370 caracteres

Problemas con ecuaciones de segundo grado

Indaga. ¿Qué es un puente colgante?

Tema 2

Saberes previos

Un equipo de estudiantes averigua que un puente colgante está sostenido por un cable en forma de arco invertido, formado por numerosos cables de acero de los que se suspende el tablero del puente, mediante tirantes verticales.

El equipo de estudiantes decide realizar una investigación de campo y acude a uno de los puentes colgantes, situado en la provincia de Pastaza. Encuentran que la longitud del puente es de 60 m, los cables tensores se encuentran separados entre sí con una distancia constante. Registran las observaciones que han hecho en la siguiente tabla. ¿Qué modelo matemático representan los datos?

Shutterstock, 142460808.

Modelo matemático

Graficamos los datos obtenidos para E 25 eye determinar la forma geométrica que toma. 2 2 cet Longitud Altura Ñ . . AS! del Aaleeule La forma geométrica que mejor aproxima los 8 puente Aca datos es la de una parábola. Para determinar la 8 ecuación de dicha curva, haremos el siguiente 2 08

análisis. of 10 20 30 do 50 do La forma general de la función cuadrática es: foneltue depute 10 y = ax’ + bx + c. Tomamos tres puntos de la tabla: (30, 2); (38; 2,30) y (22; 2,30).

Cada punto se reemplaza en la función cuadrática para obtener un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Así:

(30, 2), reemplazamos las coordenadas: 2 = 30% + 30b + c;

2 =900a + 30b + c; primera ecuación. Se forma el sistema de ecuaciones: 1.2 =900a + 30b + c (38; 2,30) 2,3 = 38%a + 38b + c 2.23 =1444a + 38b+¢ @ ¿Sabías que? 2,3 =1 444a + 38b + c; segunda ecuación. 3. 2,3 = 484a + 22b+¢ El puente colgante más od o, 02:23)23= 22a 20040 como el "Puente de la 2,3 = 484a + 22b + c; tercera ecuación.

Perla". Está en Japón y tiene una longitud de 3 911 m de largo.

Resolvemos el sistema de tres ecuaciones lineales y obtenemos los siguientes valores:

a=0,004 6; b=-0,281;c=6,26

Conclusiones matemáticas

Nuestro modelo está representado analiticamente por la función cuadrática: y =0,004 6x?-0,281x + 6,26

La solución gráfica es la que se muestra a continuación.

Shutterstock, 584878123.

M.4.1.61. Resolver (con apoyo de las TIC) y plantear problemas con enunciados que involucren modelos con funciones cuadráticas, e interpretar y juzgar la validez de las soluciones obtenidas dentro del contexto del problema.

Páginas cercanas