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Libro de Matemática 10 EGB

Ministerio de Educación del Ecuador

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Solución gráfica del modelo cuadrático

📄 ejemplo Matemática 🎓 secundaria · 10° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

Modelo matemático: $\boxed{A(d)=200d-\frac{\pi}{4}d^2}$ .

La relación entre el área y el diámetro es cuadrática y su gráfica es una parábola.

Matemática ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 221

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

Ideas principales

Un modelo matemático describe un fenómeno real mediante una ecuación o una función. Es cuadrático cuando se expresa mediante una función de segundo grado, cuya gráfica es una parábola.

La función mostrada para representar el arco de un puente es:

$y=0{,}0046x^2-0{,}281x+6{,}26$

Modelo del terreno

El terreno tiene dos lados rectos de longitud $b$ y dos cabeceras semicirculares cuyo diámetro es $d$ . Las dos semicircunferencias forman un círculo completo.

Ejercicio 1

Área del terreno

El área está formada por un rectángulo y un círculo:

$A=b\cdot d+\pi\left(\frac{d}{2}\right)^2$

Por tanto:

$A=b\cdot d+\frac{\pi d^2}{4}$

Ejercicio 2

Perímetro del terreno

El perímetro total es de $400$ m:

$400=2b+\pi d$

Despejamos $b$ :

$2b=400-\pi d$

$b=\frac{400-\pi d}{2}$

Ejercicio 3

Sustitución en el área

Sustituimos el valor de $b$ en la expresión del área:

$A=\left(\frac{400-\pi d}{2}\right)d+\frac{\pi d^2}{4}$

Llevamos los términos al mismo denominador:

$A=\frac{800d-2\pi d^2+\pi d^2}{4}$

Al reducir términos semejantes:

$A=\frac{800d-\pi d^2}{4}$

Por lo tanto, el modelo matemático correcto es:

$\boxed{A(d)=200d-\frac{\pi}{4}d^2}$

Esta es una función cuadrática porque contiene el término $d^2$ . Su gráfica es una parábola que abre hacia abajo. El signo negativo resulta de que, al aumentar el diámetro de las cabeceras, disminuye la longitud disponible para los lados rectos.

Nota: en la expresión final impresa en la página aparece un signo positivo, pero al simplificar la línea anterior debe utilizarse el signo negativo.

Contenido de la página

Modelo cuadrático

Una función cuadrática permite representar situaciones reales cuyos datos se ajustan a una parábola. Un ejemplo es el arco de un puente colgante.

Terreno con cabeceras semicirculares

El área del terreno se obtiene sumando el área del rectángulo y el área del círculo formado por las dos semicircunferencias:

$A=b\cdot d+\frac{\pi d^2}{4}$

Como el perímetro es $400$ m:

$400=2b+\pi d$

De aquí:

$b=\frac{400-\pi d}{2}$

Al sustituir:

$A(d)=200d-\frac{\pi}{4}d^2$

La expresión es cuadrática y, por eso, su gráfica es una parábola.

Ejemplos resueltos

Determinar el modelo del área de un terreno cuyo perímetro mide $400$ m, tiene dos lados rectos de longitud $b$ y dos cabeceras semicirculares de diámetro $d$ .

El área es $A=b\cdot d+\frac{\pi d^2}{4}$ . Del perímetro, $400=2b+\pi d$ , por lo que $b=\frac{400-\pi d}{2}$ . Sustituyendo y simplificando se obtiene $\boxed{A(d)=200d-\frac{\pi}{4}d^2}$ .

Fórmulas y ecuaciones

$A_{\text{círculo}}=\pi r^2$

$P=2b+\pi d$

$A(d)=200d-\frac{\pi}{4}d^2$

$y=0{,}0046x^2-0{,}281x+6{,}26$

$A=b\cdot$ d+ $\frac{\pi d^2}{4}$

$400=2b+\pi$ d

b= $\frac{400-\pi d}{2}$

A(d)=200d- $\frac{\pi}{4}$ $d^2$

Glosario (4)

Modelo matemático: Descripción de un fenómeno real mediante una ecuación, una función o una representación matemática.
Modelo cuadrático: Modelo expresado mediante una función de segundo grado.
Cabecera semicircular: Parte extrema de una figura que tiene forma de semicircunferencia.
Parábola: Curva que representa gráficamente una función cuadrática.

Preguntas para practicar

¿Por qué el área del terreno se modela con una función cuadrática?

¿Qué representa la variable $d$ en el modelo?

¿Por qué el término cuadrático tiene signo negativo?

Temas y conceptos clave

Modelos matemáticosFunciones cuadráticasÁrea y perímetroSolución gráficaPredicciones en el mundo realUn modelo matemático representa un fenómeno real mediante una ecuación o función.Un modelo cuadrático se representa mediante una función de segundo grado.Las dos cabeceras semicirculares forman un círculo completo.El área del terreno depende del diámetro de las cabeceras.La gráfica de una función cuadrática es una parábola.

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Figuras de la página (2)

Figura de un terreno con forma de rectángulo alargado y dos cabeceras semicirculares; se señalan la longitud recta $b$ y el diámetro $d$. — Figura 2 image

Esquema del proceso de modelación matemática: problema del mundo real, modelo matemático, conclusiones matemáticas y predicciones en el mundo real. — Figura 3 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se construye un modelo cuadrático a partir de un problema real?

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¿Por qué la gráfica de una función cuadrática es una parábola?

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¿Cómo se calcula el área de un terreno con cabeceras semicirculares?

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📌 Antes de leer esto

• Reconocer expresiones algebraicas de segundo grado
• Calcular áreas de rectángulos y círculos
• Calcular el perímetro de figuras planas
• Despejar una variable en una ecuación

Siguiente tema sugerido

Vértice, máximo y representación gráfica de una función cuadrática

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1979 caracteres

Solución gráfica del modelo cuadrático Representamos gráficamente la función: y = 0,004 6 x?-0,281x + 6,26.

Nuestro modelo está representado gráficamente por una función cuadrática.

ty, | eo | 3 caste 2 a 6 | Se | 2 Sa - E | < | | 1 + í

5] ag 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 |

Longitud del puente (m) |

Predicciones en el mundo real. El arco que sostiene a un puente colgante tiene la forma de una parabola.

Un modelo es una descripción mediante una ecuación o una función de un fenómeno real.

Un modelo es cuadrático cuando lo podemos representar mediante una función cuadrática, cuya gráfica aproxime mejor a los datos.

Analicemos otro problema. Problema del mundo real

Un terreno de 400 m de longitud tiene lados paralelos y cabeceras semicirculares, como indica la figura adjunta. ¿Cuál es el modelo matemático que expresa la relación entre el área encerrada por el terreno en función del diamétro de los semicirculos?

Modelo matemático

Determinamos el modelo matemático. Para ello, calculamos el área total del terreno:

2 ; Reemplazamos la expresión anterior

A=b:d+ 5(3) : en la ecuación del área obtenida

¿e : anteriormente.

T É

A=b:d+—— : p

4 As beds EL Ahora analizamos el perimetro del 400—ad nd? terreno. As 2 j EA P=2b+10d; 400 = 2b+ ad jw 800d = 2000? + 10° Despejamos b en función de d. : 4

; 1 E : A=200d+—nd?

pa 00-ad : 4

El modelo matemático que relaciona el área del terreno con el diámetro de los semicírculos es el de una función cuadrática, cuya gráfica es una parábola.

(sabias quer |

El proceso de un modelo matemático es:

Problema del mundo real

formular

Modelo matematico

Conclusiones matematicas

interpretar

Predicciones en el mundo real

Competencia socioemocional

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las diferencias que se puedan dar, siempre considerando la perspectiva y los sentimientos de los demás.

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