Taller: Evaluación formativa

Resolución

La tabla muestra las ventas, en miles, entre 2017 y 2021: (2017,20), (2018,35), (2019,50), (2020,70) y (2021,65).

• La gráfica debe ser una gráfica de barras o de líneas con los años en el eje horizontal y el número de teléfonos vendidos, en miles, en el eje vertical.
• El modelo matemático puede expresarse mediante los pares ordenados: V(2017)=20, V(2018)=35, V(2019)=50, V(2020)=70 y V(2021)=65.
• Las ventas aumentaron desde 2017 hasta 2020. En 2020 se alcanzó el máximo, con 70 mil teléfonos. En 2021 disminuyeron a 65 mil, aunque siguieron siendo mayores que en 2017, 2018 y 2019.

a) Sea x el lado menor; el lado mayor mide 2x. La ecuación es (2x+2)(x-2)=\frac{1}{2}(2x^2)+4. Al resolver, x^2-2x-8=0, por lo que x=4 y se descarta x=-2. Las dimensiones son 4\ \text{m} y 8\ \text{m}.

b) La altura inicial se obtiene con Pitágoras: h_1=\sqrt{10^2-6^2}=8\ \text{m}. Después, la base mide 9\ \text{m} y h_2=\sqrt{10^2-9^2}=\sqrt{19}\ \text{m}. El descenso es 8-\sqrt{19}\approx 3,64\ \text{m}.

c) Si los segmentos del alambre miden x y 17-x, la distancia entre los extremos debería cumplir x^2+(17-x)^2=9^2. Esto conduce a x^2-17x+104=0, cuyo discriminante es negativo: \Delta=17^2-4(104)=-127. Por tanto, no es posible doblar un alambre de 17\ \text{m} en ángulo recto y dejar sus extremos a 9\ \text{m}.

d) En caída libre, usando h=\frac{1}{2}gt^2 y g\approx 10\ \text{m/s}^2: 50=5t^2, de donde t^2=10 y t=\sqrt{10}\approx 3,16\ \text{s}.

e) Si un lado mide x, el otro mide 150-x, porque 2(x+y)=300. El área es A(x)=x(150-x)=150x-x^2, con 0<x<150.

f) Sean x y y los lados. Como x+y=70 y xy=1000, los lados son las raíces de t^2-70t+1000=0. Así, t=\frac{70\pm30}{2}, es decir, 50\ \text{m} y 20\ \text{m}.

g) Sean x y y los números positivos, con x-y=5. Al sustituir x=y+5 en x^2+y^2=193, se obtiene y^2+5y-84=0. Las soluciones son y=7 y y=-12; como deben ser positivos, los números son 12 y 7.

h) Sean x y x+1 los enteros negativos consecutivos. Entonces x^2+(x+1)^2=481, por lo que x^2+x-240=0. Las raíces son 15 y -16. La pareja negativa es -16 y -15.

i) Sea n el número de libros. La condición es \frac{90}{n+3}=\frac{90}{n}-1. Al resolver, n(n+3)=270, de donde n=15. El precio de cada libro es \frac{90}{15}=6 dólares.

j) Si el lado del cuadrado mide x, entonces x^2+4x=1440. La ecuación x^2+4x-1440=0 tiene como solución positiva x=36. Cada lado mide 36 unidades.

k) Sean x y x+2 dos números pares consecutivos. Se cumple x^2+(x+2)^2=340, que se transforma en x^2+2x-168=0. Las parejas posibles son (12,14) y (-14,-12).

l) Sea x el número misterioso. La expresión es 20x+\frac{100}{x}=220-10=210. Al multiplicar por x, se obtiene 2x^2-21x+10=0. Por tanto, x=10 o x=\frac{1}{2}.

m) Sea x el número negativo. La frase se representa mediante 5x=x^2-50. Entonces x^2-5x-50=0, cuyas raíces son 10 y -5. El número negativo es -5.

n) Si el lado actual mide x, el aumento del área es (x+4)^2-x^2=825. Así, 8x+16=825 y x=\frac{809}{8}=101,125\ \text{cm}.

Cada pieza mide 10\ \text{cm} por lado. Si se colocan m piezas en un lado y n en el otro, el perímetro es 20m+20n=180, así que m+n=9. Para obtener el área máxima, los factores deben ser lo más cercanos posible: m=4 y n=5. La cartelera tendrá 4\times5=20 piezas y dimensiones de 40\ \text{cm}\times50\ \text{cm}.