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Resolución de los ejercicios

El diámetro del jardín es 36\,\text{m}, por lo tanto, el radio es:

r=\frac{36}{2}=18\,\text{m}

La figura sombreada corresponde a un cuarto de círculo. Entonces:

A=\frac{1}{4}\pi r^2=\frac{1}{4}\pi(18)^2=\frac{324\pi}{4}=81\pi\,\text{m}^2

En los números se alternan los incrementos +2 y -1:

3,5,4,6,5,7,6,8

En las letras se avanza cuatro posiciones: D,H,L,P,T,X,B,F.

Por tanto, la serie continúa con 6B,8F.

Descomponemos los radicales:

\sqrt{27}=3\sqrt{3},\qquad \sqrt{125}=5\sqrt{5},\qquad \sqrt{75}=5\sqrt{3},\qquad \sqrt{20}=2\sqrt{5}

Sustituimos y reducimos términos semejantes:

-3(3\sqrt{3})-2(5\sqrt{5})+8(5\sqrt{3})-10(2\sqrt{5})

=-9\sqrt{3}-10\sqrt{5}+40\sqrt{3}-20\sqrt{5}

=31\sqrt{3}-30\sqrt{5}

\frac{91abc^6}{39a^2b^6c^5}=\frac{91}{39}\cdot\frac{a}{a^2}\cdot\frac{b}{b^6}\cdot\frac{c^6}{c^5}

Aplicando las propiedades de los exponentes:

\frac{91}{39}\cdot\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{b^5}\cdot c=\frac{91c}{39ab^5}

Como 91=7\cdot13 y 39=3\cdot13:

\frac{91c}{39ab^5}=\frac{7c}{3ab^5}

Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado \sqrt{x}-\sqrt{y}:

\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\cdot\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}

En el denominador se aplica diferencia de cuadrados:

\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)=x-y

Por tanto:

\frac{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{x-y}

Se identifica el factor común y+2:

x(y+2)+y+2=x(y+2)+1(y+2)

Sacando el factor común:

x(y+2)+1(y+2)=(y+2)(x+1)

El factor común es (y-1):

b(y-1)-(b+2)(y-1)=[b-(b+2)](y-1)

Simplificamos el paréntesis:

[b-b-2](y-1)=-2(y-1)

Los dos factores son -2 y (y-1).