Olimpiadas matemáticas

Cada cuadrado tiene lado 2\ \text{cm}, por lo tanto su área es 4\ \text{cm}^2.

La diagonal que delimita la región roja atraviesa el cuadrado superior y el cuadrado inferior derecho. En el cuadrado superior, la parte no roja es un triángulo de base 0{,}5\ \text{cm} y altura 2\ \text{cm}:

A_1=\frac{0{,}5\times 2}{2}=0{,}5\ \text{cm}^2

Entonces, el área roja del cuadrado superior es:

4-0{,}5=3{,}5\ \text{cm}^2

En el cuadrado inferior derecho, la región roja es un triángulo de base 2\ \text{cm} y altura 1{,}5\ \text{cm}:

A_2=\frac{2\times 1{,}5}{2}=1{,}5\ \text{cm}^2

Por tanto:

A_{\text{roja}}=3{,}5+1{,}5=5\ \text{cm}^2

Al llevar una esquina al centro del cuadrado, se dobla un triángulo rectángulo cuyos catetos miden la mitad del lado del cuadrado. Si el área del cuadrado es S, el triángulo doblado tiene área:

\frac{1}{2}\times \frac{l}{2}\times \frac{l}{2}=\frac{l^2}{8}=\frac{S}{8}

El pentágono formado conserva el resto del cuadrado, así que su área es:

S-\frac{S}{8}=\frac{7S}{8}

Las áreas son enteros consecutivos, por lo que su diferencia es 1:

S-\frac{7S}{8}=1

\frac{S}{8}=1\quad\Rightarrow\quad S=8

El pentágono tiene área 7, y el cuadrado tiene área 8.

El 60\% aprobó y el 40\% no aprobó. El promedio total es un promedio ponderado:

0{,}60\times 8+0{,}40\times x=6

4{,}8+0{,}4x=6

0{,}4x=1{,}2

x=3

El promedio de quienes no aprobaron fue 3.

La primera señal indica el número AB=10A+B. La segunda indica BA=10B+A. Como transcurre una hora entre cada señal y la velocidad es constante, las diferencias son iguales:

BA-AB=A0B-BA

10B+A-(10A+B)=100A+B-(10B+A)

9(B-A)=9(11A-B)

Por tanto:

B-A=11A-B

2B=12A\quad\Rightarrow\quad B=6A

Como A y B son dígitos y A0B es un número de tres cifras, la única posibilidad es A=1 y B=6. Así:

A+B=1+6=7

El círculo inscrito en el cuadrado EFGH tiene área \pi:

\pi r^2=\pi\quad\Rightarrow\quad r=1

Por lo tanto, el diámetro del círculo y el lado del cuadrado EFGH miden 2.

El cuadrado formado por los puntos medios tiene un área igual a la mitad del área de ABCD. Entonces:

A_{EFGH}=2^2=4

A_{ABCD}=2\times 4=8

El código comienza con una barra negra y, como se observa en la figura, las barras se alternan y termina con una barra negra. Por eso hay una barra negra más que barras blancas.

Si hay n barras blancas, hay n+1 barras negras. Las barras negras anchas son 3 menos que las blancas:

N_{\text{anchas}}=n-3

Las barras negras delgadas son las barras negras restantes:

N_{\text{delgadas}}=(n+1)-(n-3)=4

Por tanto, hay 4 barras negras delgadas.