Lógica proposicional, inecuaciones y ecuaciones

Resolución de los ejercicios

Se transforma la inecuación:

12x-8>4x+8

Restamos 4x en ambos lados:

8x-8>8

Sumamos 8:

8x>16

Dividimos entre 8:

x>2

La opción equivalente es:

2x+1>5

porque al resolverla también se obtiene x>2.

La proposición «Si Pepe no es hermano de Lali, entonces Cecy es prima de Luis» tiene como antecedente la negación de p y como consecuente q.

Por tanto, su fórmula es:

\neg p\rightarrow q

La expresión «No es cierto que Sergio es hijo de Andrea y Laura es hermana de María» niega la conjunción de r y s.

La fórmula correspondiente es:

\neg(r\land s)

Analizamos:

(p\land q)\rightarrow q

Si p\land q es verdadera, entonces necesariamente q es verdadera. Si p\land q es falsa, la implicación también es verdadera. Por lo tanto, siempre es verdadera y es una tautología.

Analizamos:

(p\rightarrow q)\land p

Esta proposición es verdadera solamente cuando p y q son verdaderas. En otros casos puede ser falsa, por lo que no es siempre verdadera ni siempre falsa. Es una contingencia.

Recordamos la equivalencia lógica:

p\rightarrow q\equiv\neg p\lor q

Por eso:

(\neg p\lor q)\leftrightarrow(p\rightarrow q)

siempre compara dos expresiones equivalentes y resulta verdadera. Es una tautología.

Resolvemos:

2x-[6-2(5x-4)]=6x-2

Primero simplificamos el corchete:

6-2(5x-4)=6-10x+8=14-10x

Entonces:

2x-(14-10x)=6x-2

2x-14+10x=6x-2

12x-14=6x-2

6x=12

x=2

Resolvemos el sistema:

\begin{cases}y=x+2\\y-3x=4\end{cases}

Sustituimos y=x+2 en la segunda ecuación:

x+2-3x=4

-2x+2=4

-2x=2

x=-1

Ahora calculamos y:

y=x+2=-1+2=1

La solución del sistema es (-1,1).