Olimpiadas matemáticas

Resolución de los ejercicios

La fracción de niños es \frac{1}{6}, por lo tanto, la fracción de adultos es:

1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}

De los adultos, \frac{2}{5} son hombres. Entonces, la fracción de hombres respecto de toda la audiencia es:

\frac{2}{5}\times\frac{5}{6}=\frac{1}{3}

La fracción de mujeres adultas es la diferencia entre todos los adultos y los hombres adultos:

\frac{5}{6}-\frac{1}{3}=\frac{5}{6}-\frac{2}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}

El perímetro del rectángulo ABCD es 30\ \text{cm}. En cada vértice se ubica el centro de uno de los tres rectángulos pequeños.

Si un rectángulo pequeño tiene perímetro p, las partes que cubre sobre los dos lados del rectángulo grande suman la cuarta parte de su perímetro, es decir, \frac{p}{4}.

Para los tres rectángulos, la longitud total cubierta es:

\frac{20}{4}=5\ \text{cm}

Por tanto, la longitud de la línea gruesa es:

30-5=25\ \text{cm}

Si dos círculos son tangentes sobre un lado del pentágono, la suma de sus radios es igual a la longitud de ese lado. Sean r_A,r_B,r_C,r_D,r_E los radios.

De acuerdo con la figura:

r_A+r_B=16 r_B+r_C=14 r_C+r_D=17 r_D+r_E=13 r_E+r_A=14

De la primera ecuación, r_B=16-r_A. Luego:

r_C=14-r_B=14-(16-r_A)=r_A-2

Además:

r_D=17-r_C=17-(r_A-2)=19-r_A

Y:

r_E=13-r_D=13-(19-r_A)=r_A-6

Usando la última ecuación:

r_E+r_A=14 r_A-6+r_A=14 2r_A=20 r_A=10

Por tanto:

r_B=6,\quad r_C=8,\quad r_D=9,\quad r_E=4

El radio mayor es 10, correspondiente al vértice A.

Sea x el número menor. El mayor es x+5. Según el enunciado:

\frac{x+5}{3}=\frac{25}{100}x+10

Como \frac{25}{100}=\frac{1}{4}:

\frac{x+5}{3}=\frac{x}{4}+10

Multiplicamos toda la ecuación por 12:

4(x+5)=3x+120

4x+20=3x+120

x=100

El número mayor es:

100+5=105

Como ABC es isósceles y AC=2, también AB=2. Los segmentos A'B' y A'C' representan las distancias perpendiculares desde A' hasta los lados AC y AB, respectivamente.

El área del triángulo formado por A', B y C no se utiliza directamente; en cambio, los triángulos con bases AB y AC tienen áreas:

[ABA']=\frac{1}{2}\times AB\times A'C'=\frac{1}{2}\times2\times A'C'=A'C'

[ACA']=\frac{1}{2}\times AC\times A'B'=\frac{1}{2}\times2\times A'B'=A'B'

Estos dos triángulos forman todo el triángulo ABC. Como el área de ABC es 1:

A'B'+A'C'=1