Concursos intercolegiales

Situación cotidiana

Sean x los estudiantes del paralelo A y y los estudiantes del paralelo B.

El total de estudiantes es:

x+y=77

Los participantes son el 50\% de A y el 60\% de B. Como el número de participantes es igual al número de estudiantes de A:

\frac{50}{100}x+\frac{60}{100}y=x

0{,}5x+0{,}6y=x

0{,}6y=0{,}5x

De aquí, x=1{,}2y. Sustituyendo en la primera ecuación:

1{,}2y+y=77

2{,}2y=77

y=35

Entonces:

x=77-35=42

Hay 42 estudiantes en A y 35 en B.

Reflexiona

• El 50\% de 77 es 38{,}5, aproximadamente 40 estudiantes.
• La propuesta de 40 estudiantes en A y 25 en B es incorrecta, porque suma 65 y no 77. La solución correcta es 42 en A y 35 en B.
• Si el total fuera 55, se mantienen las proporciones x:y=6:5. Por tanto, x=30 y y=25.
• Si x+y=70 y se selecciona la mitad de cada paralelo, el número de participantes es \frac{x}{2}+\frac{y}{2}=35, que equivale a la primera ecuación. Por ello, no existe una única solución: cualquier distribución de 70 estudiantes entre A y B cumple la condición.

Resuelve las situaciones

Puntuación del concurso

Sean c las respuestas correctas y i las incorrectas. Como se contestan las 100 preguntas:

c+i=100

La puntuación obtenida es:

2c-i=65

Sumando ambas ecuaciones:

3c=165

c=55

Por tanto, las respuestas incorrectas son 100-55=45.

Cuadrícula de 3\times3

Sean las celdas de la cuadrícula:

\begin{matrix}2&b&4\\d&e&f\\g&h&3\end{matrix}

Al igualar las sumas de los cuadrados de 2\times2 superior izquierdo y superior derecho:

2+d=4+f

Al igualar las sumas del cuadrado superior izquierdo y el inferior izquierdo:

2+b=g+h

Al igualar las sumas del cuadrado superior izquierdo y el inferior derecho, y combinar las relaciones anteriores, se obtiene:

g=2+3-4=1

El número de la celda interrogada es 1.

Rectángulo ABCD

El cuadrado tiene área 9\text{ cm}^2, por lo que su lado mide:

\sqrt{9}=3\text{ cm}

Si las dimensiones del rectángulo grande son a y b, entonces:

2a+2b=30

a+b=15

El rectángulo ABCD tiene 3 cm menos en cada dimensión. Su perímetro es:

P=2[(a-3)+(b-3)]

P=2(a+b-6)=2(15-6)=18\text{ cm}

Cuestionario de Enrique

Sean c las correctas, i las incorrectas y b las dejadas en blanco:

c+i+b=20

7c-4i=100

De la segunda ecuación, c debe ser múltiplo de 4. Probando los valores posibles, c=16 e i=3 cumplen:

7(16)-4(3)=112-12=100

Entonces:

b=20-16-3=1

Enrique dejó una pregunta en blanco.