Olimpiadas matemáticas

Resolución de los ejercicios

Cada pétalo es una lente formada por dos arcos de circunferencia de radio 1\ \text{m}, cuyos centros están en dos vértices consecutivos del hexágono. La distancia entre esos centros es la diagonal menor del hexágono:

d=\sqrt{3}\ \text{m}

El área de una lente de radio 1 y distancia entre centros \sqrt{3} es:

A_p=2\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)-\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{4-3}

Como \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{\pi}{6}, se obtiene:

A_p=\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}

La flor tiene seis pétalos:

A=6\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=2\pi-3\sqrt{3}\ \text{m}^2

Por tanto, el área aproximada es 1{,}09\ \text{m}^2.

Cada cuadrícula de 2\times2 ocupa dos filas y dos columnas de la cuadrícula original. En una cuadrícula de 5\times5 se pueden ubicar dos cuadrados de 2\times2 en las dos primeras filas y otros dos en las dos filas siguientes.

No es posible colocar un tercer cuadrado en las mismas dos filas ni aprovechar completamente la quinta fila, porque cada cuadrado necesita dos filas completas. Por ello, el máximo es:

2\times2=4

Las piezas que se deben utilizar son las piezas 1, 2, 3 y 5. Al unir los dos triángulos con el cuadrado y la pieza irregular, sus lados inclinados se complementan y forman los cuatro lados de un cuadrado. La pieza 4 no es necesaria.

El rectángulo original tiene área:

30\times24=720\ \text{cm}^2

El rectángulo nuevo también tiene área:

40\times18=720\ \text{cm}^2

Por tanto, las dos piezas deben conservar toda el área y cada una debe tener:

\frac{720}{2}=360\ \text{cm}^2

La división que permite desplazar las piezas para aumentar el largo de 30 cm a 40 cm y reducir el ancho de 24 cm a 18 cm es la figura escalonada de la opción (d).

Marisa puede escoger una de las cuatro blusas, una de las tres faldas o una de los dos pantalones. Primero, las opciones de la parte inferior son:

3+2=5

Luego, por cada blusa hay cinco opciones para combinarla:

4\times5=20

La suma mínima se obtiene con 1+2=3 y la máxima con 9+10=19. Todas las sumas enteras entre 3 y 19 pueden obtenerse.

La cantidad de resultados es:

19-3+1=17