Un negocio nuevo: volumen de sólidos geométricos

Situación de los envases

Los envases 1 y 2 tienen diámetro de 8\ \text{cm}, por lo que su radio es:

r=\frac{8}{2}=4\ \text{cm}

La altura de los tres envases es 12\ \text{cm}.

Envase 1: cono

V=\frac{1}{3}\pi r^2h

V_1=\frac{1}{3}\pi(4)^2(12)=64\pi\ \text{cm}^3\approx 201{,}06\ \text{cm}^3

Envase 2: cilindro

V=\pi r^2h

V_2=\pi(4)^2(12)=192\pi\ \text{cm}^3\approx 603{,}19\ \text{cm}^3

Envase 3: prisma rectangular de base cuadrada

El área de la base es:

A_b=6\times6=36\ \text{cm}^2

Entonces:

V_3=A_bh=36\times12=432\ \text{cm}^3

Por lo tanto, el envase de mayor capacidad es el cilindro, porque 603{,}19>432>201{,}06. El de menor capacidad es el cono.

Semejanzas y diferencias

Los tres envases tienen una altura de 12\ \text{cm} y sirven para contener papas fritas. Se diferencian en la forma de sus bases y en sus volúmenes: el cono tiene base circular, el cilindro también tiene base circular y el tercer envase tiene base cuadrada.

Cartón para 100 conos

Para elaborar el cono se necesita calcular su superficie lateral. Primero se obtiene la generatriz:

g=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{4^2+12^2}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}\ \text{cm}

El área lateral del cono es:

A_L=\pi rg=\pi(4)(4\sqrt{10})=16\pi\sqrt{10}\ \text{cm}^2

Para 100 unidades:

100A_L=1600\pi\sqrt{10}\ \text{cm}^2

Como 1\ \text{m}^2=10\,000\ \text{cm}^2:

A=\frac{1600\pi\sqrt{10}}{10\,000}=0{,}16\pi\sqrt{10}\ \text{m}^2\approx1{,}59\ \text{m}^2

Se deben comprar aproximadamente 1{,}59\ \text{m}^2 de cartón, sin considerar desperdicios ni solapas.

Tanque de reserva

El tanque nuevo mide 1\ \text{m} de ancho, 1{,}40\ \text{m} de largo y 0{,}90\ \text{m} de profundidad. Como el nuevo tanque tiene el doble de cada dimensión de la base y conserva la misma altura, el tanque anterior medía 0{,}50\ \text{m} de ancho y 0{,}70\ \text{m} de largo.

Volumen del tanque anterior:

V_a=0{,}50\times0{,}70\times0{,}90=0{,}315\ \text{m}^3

Volumen del tanque nuevo:

V_n=1\times1{,}40\times0{,}90=1{,}26\ \text{m}^3

La razón entre los volúmenes es:

\frac{V_n}{V_a}=\frac{1{,}26}{0{,}315}=4

El tanque nuevo tiene cuatro veces la capacidad del anterior. Por eso, el costo también se multiplica por 4:

\text{Costo nuevo}=4\times\$8=\$32