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División entre polinomios

📄 ejemplo Matemática 🎓 secundaria · 9° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

Cociente: $4x^{3}+5x^{2}+6x+1$ . Residuo: $3$ .

Matemática ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 137

Matematica 9° · Egb 9 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

Procedimiento para dividir polinomios

Para dividir un polinomio entre otro:

Se ordenan el dividendo y el divisor en forma descendente.
Si falta algún término, se completa con coeficiente cero.
Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor.
El resultado se coloca en el cociente.
Se multiplica ese término por todo el divisor y se cambia el signo de los términos obtenidos.
Se suman algebraicamente y se repite el proceso hasta que el residuo tenga menor grado que el divisor.

Ejemplo

Dividir:

$\left(4x^{4}-5x+x^{2}+2+x^{3}\right)\div\left(x-1\right)$

Ejercicio 1

Ordenamos el dividendo

$4x^{4}+x^{3}+x^{2}-5x+2$

Ejercicio 2

Primer término del cociente

Dividimos $4x^{4}$ entre $x$ :

$\frac{4x^{4}}{x}=4x^{3}$

Multiplicamos:

$4x^{3}(x-1)=4x^{4}-4x^{3}$

Al restar, queda:

$\left(4x^{4}+x^{3}+x^{2}-5x+2\right)-\left(4x^{4}-4x^{3}\right)=5x^{3}+x^{2}-5x+2$

Ejercicio 3

Segundo término del cociente

$\frac{5x^{3}}{x}=5x^{2}$

Multiplicamos:

$5x^{2}(x-1)=5x^{3}-5x^{2}$

Restamos:

$\left(5x^{3}+x^{2}-5x+2\right)-\left(5x^{3}-5x^{2}\right)=6x^{2}-5x+2$

Ejercicio 4

Tercer término del cociente

$\frac{6x^{2}}{x}=6x$

Multiplicamos:

$6x(x-1)=6x^{2}-6x$

Restamos:

$\left(6x^{2}-5x+2\right)-\left(6x^{2}-6x\right)=x+2$

Ejercicio 5

Cuarto término del cociente

$\frac{x}{x}=1$

Multiplicamos:

$1(x-1)=x-1$

Restamos:

$\left(x+2\right)-\left(x-1\right)=3$

Como el residuo $3$ tiene grado menor que el divisor $x-1$ , el proceso termina.

Por tanto:

$\frac{4x^{4}+x^{3}+x^{2}-5x+2}{x-1}=4x^{3}+5x^{2}+6x+1+\frac{3}{x-1}$

También puede expresarse mediante el algoritmo de la división:

$4x^{4}+x^{3}+x^{2}-5x+2=(x-1)(4x^{3}+5x^{2}+6x+1)+3$

Contenido de la página

División entre polinomios

Para dividir un polinomio entre otro, se ordenan ambos en forma descendente y se colocan en una división en galera. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor; luego se multiplica el resultado por el divisor, se cambian los signos y se suma algebraicamente. El procedimiento se repite hasta obtener un residuo de menor grado que el divisor.

Si un polinomio es incompleto, se agregan los términos faltantes con coeficiente cero.

Ejemplo de la página

$\left(4x^{4}+x^{3}+x^{2}-5x+2\right)\div\left(x-1\right)$

El cociente es $4x^{3}+5x^{2}+6x+1$ y el residuo es $3$ .

$4x^{4}+x^{3}+x^{2}-5x+2=(x-1)(4x^{3}+5x^{2}+6x+1)+3$

Ejemplos resueltos

Dividir $4x^{4}-5x+x^{2}+2+x^{3}$ entre $x-1$ .

Ordenamos el dividendo: $4x^{4}+x^{3}+x^{2}-5x+2$ . Al realizar la división, se obtiene el cociente $4x^{3}+5x^{2}+6x+1$ y el residuo $3$ . Por lo tanto, $4x^{4}+x^{3}+x^{2}-5x+2=(x-1)(4x^{3}+5x^{2}+6x+1)+3$ .

Fórmulas y ecuaciones

$\text{Dividendo}=\text{Divisor}\cdot\text{Cociente}+\text{Residuo}$

$\text{grado del residuo}<\text{grado del divisor}$

$\frac{4x^{4}}{x}=4x^{3}$

$\frac{5x^{3}}{x}=5x^{2}$

$\frac{6x^{2}}{x}=6x$

$\frac{x}{x}=1$

$4x^{4}+x^{3}+x^{2}-5x+2=(x-1)(4x^{3}+5x^{2}+6x+1)+3$

Glosario (5)

Dividendo: Polinomio que se va a dividir.
Divisor: Polinomio entre el cual se divide el dividendo.
Cociente: Resultado principal de la división de polinomios.
Residuo: Polinomio que queda al finalizar la división y cuyo grado es menor que el del divisor.
División en galera: Forma organizada de realizar la división larga de polinomios.

Temas y conceptos clave

División entre polinomiosDivisión en galeraPolinomios incompletosDividendoDivisorCocienteResiduoOrden descendenteTérminos faltantes

Fuentes y referencias

lynk.ec/9m12
lynk.ec/9m13

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📌 Antes de leer esto

• Ordenar términos de un polinomio
• Sumar y restar polinomios
• Multiplicar monomios y polinomios
• Dividir potencias con la misma base

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División sintética de polinomios

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1741 caracteres

División entre polinomios

| Para dividir un polinomio por otro, se ordenan en forma descendente, y luego se colocan en una galera. Una vez colocados así, dividimos el primer térmi-

| no del polinomio para

multiplicamos por los términos del polinomio divisor, cambiamos de signo a estos términos y sumamos algebraicamente el polinomio obtenido. Repetimos el proceso hasta que el polinomio residuo obtenido sea de menor grado que

el polinomio divisor.

la’ & Recuerda que...

Si un polinomio es incompleto, se completa los términos

el primer término del polinomio divisor, al cociente lo con ceros,

0,1x"-0,5x 40x44 -0,1x" =0,3x" -0,8x" +0x +4 0,8x" +2,4x 2,4x44 -2,4x-7,2

0,1x" =0,8x42,4

Ejemplo 2

Dividir 4x* -5x+x?+2+x? por —14 X.

Solución

Ordenamos los polinomi

4x4 +x? 4x? 5x4 2

Dividimos 4x4 por x y colocamos el resultado debajo del polinomio divisor:

4x4 +x? 4x? 5x42

Multiplicamos 4x 3 por x - 1 y al polinomio resultante lo colocamos con signo

contrario debajo del poli 4x4 4x3 +x? 5x +42

-4x 44x?

-32

Ai El comportamiento y las formas de hablar suelen varlar de persona a persona, Es importante respetar el estilo que cada persona tenga a la hora de hablar y de comportarse.

os al tiempo que los colocamos en una galera:

x-1

x=1

4x?

nomio dividendo: Ws Competencia digital Imprime la página 5 del siguiente enlace

x-1

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y practica division Sumamos algebráicamente y repetimos el proceso hasta obtener cero o un _de polinomios. polinomio de menor grado que el polinomio divisor: lynk.ec/9m12 Ae? 5 +42 x-1 4x’ 443 As 46x41 Ys Competencia digital

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