División de monomios y polinomios

Resolución

Se divide cada término del polinomio para el monomio divisor, aplicando las leyes de los exponentes.

• a) \left(2x^{2}+4x\right)\div 2x=\frac{2x^{2}}{2x}+\frac{4x}{2x}=x+2.
• b) \left(3y^{5}+4y^{3}-2y^{2}\right)\div y^{2}=3y^{3}+4y-2.
• c) \left(6z^{6}y+18z^{4}y^{3}\right)\div 6z^{4}y=z^{2}+3y^{2}.
• d) \left(81a^{2}b^{5}+9a^{5}b^{2}\right)\div 9a^{2}b^{2}=9b^{3}+a^{3}.
• e) \left(\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{4}x^{3}\right)\div \frac{1}{2}x^{2}=1-\frac{x}{2}.
• f) \left(x^{2m+1}-x^{m-1}\right)\div x^{m}=x^{m+1}-x^{-1}=x^{m+1}-\frac{1}{x}.
• g) (2x+3)\div 2=x+\frac{3}{2}.
• h) (4x+5)\div x=4+\frac{5}{x}.
• i) (7x+6)\div x=7+\frac{6}{x}.
• j) (4x-7)\div x=4-\frac{7}{x}.
• k) \frac{4x^{3}+6x^{2}-2x+10}{2}=2x^{3}+3x^{2}-x+5.
• l) \frac{x^{m+1}+x^{m-1}}{x^{m}}=x+\frac{1}{x}.
• m) \left(4x^{2}-5x-19\right)\div 2x=2x-\frac{5}{2}-\frac{19}{2x}.
• n) \left(6x^{3}-8x^{2}+6x-9\right)\div 3x=2x^{2}-\frac{8}{3}x+2-\frac{3}{x}.

El área de la base se obtiene dividiendo el volumen para la altura:

A_b=\frac{8a^{3}-4a^{2}b-2ab^{2}+b^{3}}{2a+b}

Factorizamos el numerador:

8a^{3}-4a^{2}b-2ab^{2}+b^{3}=(2a+b)(4a^{2}-4ab+b^{2})

Por tanto:

A_b=4a^{2}-4ab+b^{2}

• a) 6x^{2}-3x+2=(2x+1)(3x-3)+5. Cociente: 3x-3; residuo: 5.
• b) 4x^{4}-6x^{3}+3x-1=(x^{3}-3)(4x-6)+(15x-19). Cociente: 4x-6; residuo: 15x-19.
• c) 2y^{3}+9y^{2}+5y-6=(2y+3)(y^{2}+3y-2). Cociente: y^{2}+3y-2; residuo: 0.
• d) Al dividir en términos de a, se obtiene:

\frac{\frac{5}{3}a^{3}+\frac{1}{16}a^{2}b+\frac{5}{2}ab^{2}}{\frac{1}{2}a-\frac{1}{4}b}=\frac{10}{3}a^{2}+\frac{43}{24}ab+\frac{283}{48}b^{2}+\frac{\frac{283}{192}b^{3}}{\frac{1}{2}a-\frac{1}{4}b}

Cociente: \frac{10}{3}a^{2}+\frac{43}{24}ab+\frac{283}{48}b^{2}; residuo: \frac{283}{192}b^{3}.

• e) Se factoriza el dividendo y el divisor:

\frac{x^{2a}(x^{3}+2x^{2}+2x+1)}{x^{a-1}(x+1)} =x^{a+1}\frac{(x+1)(x^{2}+x+1)}{x+1}

Cociente: x^{a+3}+x^{a+2}+x^{a+1}; residuo: 0.

El área del rectángulo es A=b\cdot h. Como h=x+4:

b=\frac{2x^{2}+5x-12}{x+4}

Factorizamos el numerador:

2x^{2}+5x-12=(x+4)(2x-3)

Entonces, la base es:

b=2x-3

• a) Verdadera. La diferencia de grados es 5-2=3.
• b) Verdadera, porque x^{3}+1=(x+1)(x^{2}-x+1).
• c) Falsa. x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}, por lo que el residuo es 0, no 2x.
• d) Verdadera, porque x^{4}-y^{4}=(x^{2}+y^{2})(x^{2}-y^{2}).

1. \frac{4x^{2}-10x+4}{2x-4}=2x-1, con residuo 0.

2. \frac{3a^{2}-13a+4}{a-4}=3a-1, con residuo 0.

Para dividir por coeficientes separados se escriben únicamente los coeficientes del dividendo y del divisor, respetando el orden de los grados y colocando ceros cuando falta algún término. Luego se aplica la división sintética o regla de Ruffini cuando el divisor es de la forma x-r.

Ejemplo:

\frac{x^{3}-6x^{2}+11x-6}{x-1}

Los coeficientes son 1,-6,11,-6 y se utiliza r=1. El resultado es:

\frac{x^{3}-6x^{2}+11x-6}{x-1}=x^{2}-5x+6

El residuo es 0, por lo tanto, la división es exacta.