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División sintética. Cocientes notables

📄 ejemplo Matemática 🎓 secundaria · 9° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

Factores: $a-b$ y $\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y^2$ . Cociente: $x^2+3x+1$ . Residuo: $0$ . Área de la base: $x^2+3x+1$ .

Matemática ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 140

Matematica 9° · Egb 9 Matematica 2025 · 2025

Productos notables

Para obtener una diferencia de cuadrados se utiliza la identidad:

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

Por tanto, el factor que falta en el primer producto es $a-b$ .

En el segundo caso:

$\left(\frac{1}{2}x-\frac{3}{4}y^2\right)\left(\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y^2\right) =\left(\frac{1}{2}x\right)^2-\left(\frac{3}{4}y^2\right)^2$

$=\frac{1}{4}x^2-\frac{9}{16}y^4$

El factor que falta es $\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y^2$ .

División sintética

Se desea dividir el volumen del microondas entre su altura:

$\frac{x^3+x^2-5x-2}{x-2}$

El divisor es $x-2$ , por lo que el número que se coloca a la derecha en la división sintética es $2$ .

Los coeficientes del dividendo son $1$ , $1$ , $-5$ y $-2$ :

$\begin{array}{r|rrrr} 2 & 1 & 1 & -5 & -2 \\ & & 2 & 6 & 2 \\ \hline & 1 & 3 & 1 & 0 \end{array}$

Pasos:

Se baja el primer coeficiente: $1$ .
Se multiplica $1$ por $2$ : $1\cdot 2=2$ . Se suma con $1$ : $1+2=3$ .
Se multiplica $3$ por $2$ : $3\cdot 2=6$ . Se suma con $-5$ : $-5+6=1$ .
Se multiplica $1$ por $2$ : $1\cdot 2=2$ . Se suma con $-2$ : $-2+2=0$ .

Los tres primeros números forman los coeficientes del cociente y el último número es el residuo:

$Q(x)=x^2+3x+1,\qquad R=0$

Como el residuo es cero, la división es exacta. El área de la base del microondas está representada por $x^2+3x+1$ .

Contenido de la página

División sintética

La división sintética es un procedimiento abreviado para dividir un polinomio entre un binomio lineal de la forma $x-a$ . El polinomio debe estar ordenado de manera descendente y se trabaja con sus coeficientes.

Para dividir entre $x-2$ , se utiliza el número $2$ . Se baja el primer coeficiente, se multiplica por $2$ y se suma el resultado con el siguiente coeficiente. Este proceso se repite hasta obtener el cociente y el residuo.

Aplicación

El volumen del microondas es $x^3+x^2-5x-2$ y su altura es $x-2$ . El área de la base se obtiene mediante:

$\frac{x^3+x^2-5x-2}{x-2}=x^2+3x+1$

Producto notable

La diferencia de cuadrados se expresa como:

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

Ejemplos resueltos

Divide $x^3+x^2-5x-2$ entre $x-2$ mediante división sintética.

Se usan los coeficientes $1$ , $1$ , $-5$ , $-2$ y el número $2$ . La división sintética produce los coeficientes $1$ , $3$ , $1$ y el residuo $0$ . Por tanto, el cociente es $x^2+3x+1$ .

Fórmulas y ecuaciones

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

$\text{Dividendo}=\text{divisor}\cdot\text{cociente}+\text{residuo}$

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

$\frac{x^3+x^2-5x-2}{x-2}=x^2+3x+1$

$Q(x)=x^2+3x+1$

$R=0$

Glosario (4)

División sintética: Procedimiento abreviado para dividir un polinomio entre un binomio lineal de la forma $x-a$.
Cociente: Resultado principal de una división de polinomios.
Residuo: Término que queda después de realizar una división; es cero cuando la división es exacta.
Diferencia de cuadrados: Producto notable expresado mediante $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

Preguntas para practicar

¿Por qué en la división sintética entre $x-2$ se utiliza el número $2$?

¿Qué significa que el residuo de una división sintética sea cero?

¿Cómo se relaciona el volumen de un prisma con el área de su base y su altura?

Temas y conceptos clave

División sintéticaDiferencia de cuadradosCociente y residuo de polinomiosAplicación geométrica de la división de polinomiosDivisor de la forma $x-a$Coeficientes del polinomioCocienteResiduoDiferencia de cuadrados

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se realiza una división sintética?

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¿Cuál es la fórmula de la diferencia de cuadrados?

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¿Cómo hallar el cociente de un polinomio entre un binomio?

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📌 Antes de leer esto

• Operaciones con polinomios
• Multiplicación de binomios
• Productos notables
• Ordenamiento descendente de polinomios

Siguiente tema sugerido

Teorema del residuo y factorización de polinomios

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Tema 2

Las microondas no solo son emitidas por el

Sol, sino que también pueden ser generadas a través de dispositivos elaborados con elementos llamados semiconductores, como el silicio o arseniuro

de galio o en tubos llamados de vacío.

Una de las aplicaciones de este tipo de

ondas es el horno de microondas, el cual genera ondas en el rango de 2,45 GHz (gigahercios).

Competencia socioemocional

Cuando trabajes en grupo, toma la iniciativa y manifiesta tus puntos de vista en la resolución de problemas para llegar a soluciones efectivas.

os .

División sintética. Cocientes notables

~ Desequilibrio cognitivo

¿Cuál es el factor que hace posible cada producto?

1 3 1 -x-2y eight yt

ad 5 EE 2 4 416

(a+b)

En general, la división sintética es un procedimiento abreviado para realizar la división de un polinomio entre un binomio lineal expresado como x — a, y solo sirve para obtener las raíces enteras. En la fabricación de un microondas, se ha considerado la expresión algebraica x? + x? -5x-2 para representar su volumen, y el binomio x -2 para representar su altura. ¿Cuál es la expresión que representa el área de su base?

Para determinar la expresión algebraica que representa el área de la base del microondas, debemos dividir la expresión del volumen para la expresión de la altura.

Esta división puede ser realizada utilizando la división sintética, la cual: es recomendable usar en polinomios P(x), ordenados en forma descendente, que van a ser divididos entre binomios de la forma x +a.

El proceso es el siguiente:

Escribimos los coeficientes del polinomio dividendo y el opuesto del segundo | término del polinomio divisor.

| 1 1 =5 sg | 2

| Bajamos el primer coeficiente, lo multiplicamos por el número de la

derecha. Registramos ese producto en la segunda columna para ser sumado

algebraicamente con el número que se encuentra en esa posición. Al resultado

| obtenido lo multiplicamos por el número de la derecha y repetimos el proceso para las siguientes columnas.

| 1 1 E =) 2 2 6 2 14 3 1 0

| | Expresamos el cociente separando el último número obtenido. Le damos la | forma, considerando que es un grado menor al polinomio dividendo. El número | excluido es el residuo.

Cociente | 1 3 1) Residuo 0.

El polinomio cociente es: x? 43x41.

M.4.1.33. Reconocer y calcular productos notables e identificar factores de expresiones algebraicas.

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