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Cocientes notables

📄 ejemplo Matemática 🎓 secundaria · 9° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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• $\frac{25x^{4}-64y^{2}z^{6}}{5x^{2}+8yz^{3}}=5x^{2}-8yz^{3}$

• $\frac{216p^{3}-8q^{3}r^{9}}{6p-2qr^{3}}=36p^{2}+12pqr^{3}+4q^{2}r^{6}$

Matemática ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 141

Matematica 9° · Egb 9 Matematica 2025 · 2025

Cocientes notables

Los cocientes notables son divisiones algebraicas que pueden resolverse directamente aplicando identidades conocidas.

Diferencia de cuadrados

Si el numerador es una diferencia de cuadrados perfectos, se aplican las reglas:

$\frac{a^{2}-b^{2}}{a+b}=a-b$

$\frac{a^{2}-b^{2}}{a-b}=a+b$

Aplicación

Se desea calcular:

$\frac{25x^{4}-64y^{2}z^{6}}{5x^{2}+8yz^{3}}$

Identificamos los cuadrados perfectos:

$25x^{4}=(5x^{2})^{2}$

$64y^{2}z^{6}=(8yz^{3})^{2}$

Entonces, el numerador es una diferencia de cuadrados y el denominador es la suma de sus raíces. Por la identidad correspondiente:

$\frac{25x^{4}-64y^{2}z^{6}}{5x^{2}+8yz^{3}}=5x^{2}-8yz^{3}$

Diferencia y suma de cubos

Para una diferencia de cubos se utiliza:

$\frac{a^{3}-b^{3}}{a-b}=a^{2}+ab+b^{2}$

Para una suma de cubos se utiliza:

$\frac{a^{3}+b^{3}}{a+b}=a^{2}-ab+b^{2}$

Ejemplo 1

Calcular:

$\frac{216p^{3}-8q^{3}r^{9}}{6p-2qr^{3}}$

Reconocemos las raíces cúbicas:

$216p^{3}=(6p)^{3}$

$8q^{3}r^{9}=(2qr^{3})^{3}$

Por tanto, la expresión tiene la forma:

$\frac{a^{3}-b^{3}}{a-b}$

con $a=6p$ y $b=2qr^{3}$ . Sustituimos en la fórmula:

$a^{2}+ab+b^{2}=(6p)^{2}+(6p)(2qr^{3})+(2qr^{3})^{2}$

Simplificando:

$36p^{2}+12pqr^{3}+4q^{2}r^{6}$

Por lo tanto:

$\frac{216p^{3}-8q^{3}r^{9}}{6p-2qr^{3}}=36p^{2}+12pqr^{3}+4q^{2}r^{6}$

Además, para potencias de igual exponente se pueden aplicar las identidades de suma y diferencia de potencias. Por ejemplo:

$\frac{x^{5}-y^{5}}{x-y}=x^{4}+x^{3}y+x^{2}y^{2}+xy^{3}+y^{4}$

La diferencia de potencias pares también puede dividirse entre la suma de sus bases:

$\frac{x^{4}-y^{4}}{x+y}=x^{3}-x^{2}y+xy^{2}-y^{3}$

Contenido de la página

Fórmulas principales

$\frac{a^{2}-b^{2}}{a+b}=a-b$

$\frac{a^{2}-b^{2}}{a-b}=a+b$

$\frac{a^{3}-b^{3}}{a-b}=a^{2}+ab+b^{2}$

$\frac{a^{3}+b^{3}}{a+b}=a^{2}-ab+b^{2}$

Para potencias de igual exponente también existen cocientes notables. La diferencia de potencias puede dividirse entre la diferencia de sus bases; cuando el exponente es par, también puede dividirse entre la suma de sus bases.

Ejemplos resueltos

Calcular $\frac{25x^{4}-64y^{2}z^{6}}{5x^{2}+8yz^{3}}$ .

$25x^{4}=(5x^{2})^{2}$ y $64y^{2}z^{6}=(8yz^{3})^{2}$ . Aplicando $\frac{a^{2}-b^{2}}{a+b}=a-b$ , se obtiene $\boxed{5x^{2}-8yz^{3}}$ .

Calcular $\frac{216p^{3}-8q^{3}r^{9}}{6p-2qr^{3}}$ .

Se identifica $216p^{3}=(6p)^{3}$ y $8q^{3}r^{9}=(2qr^{3})^{3}$ . Con $a=6p$ y $b=2qr^{3}$ , se aplica $\frac{a^{3}-b^{3}}{a-b}=a^{2}+ab+b^{2}$ . El resultado es $\boxed{36p^{2}+12pqr^{3}+4q^{2}r^{6}}$ .

Fórmulas y ecuaciones

$\frac{a^{2}-b^{2}}{a+b}=a-b$

$\frac{a^{3}-b^{3}}{a-b}=a^{2}+ab+b^{2}$

$\frac{a^{3}+b^{3}}{a+b}=a^{2}-ab+b^{2}$

$\frac{a^{2}-b^{2}}{a+b}$ =a-b

$\frac{a^{2}-b^{2}}{a-b}$ =a+b

$\frac{a^{3}-b^{3}}{a-b}$ $=a^{2}+ab+b^{2}$

$\frac{a^{3}+b^{3}}{a+b}$ $=a^{2}-ab+b^{2}$

$\frac{x^{5}-y^{5}}{x-y}$ $=x^{4}+x^{3}y+x^{2}y^{2}+xy^{3}+y^{4}$

$\frac{x^{4}-y^{4}}{x+y}$ $=x^{3}-x^{2}y+xy^{2}-y^{3}$

Glosario (4)

Cociente notable: División algebraica cuyo resultado puede obtenerse directamente mediante una identidad conocida.
Raíz cúbica: Número o expresión que, elevada al cubo, produce otra expresión.
Diferencia de cuadrados: Expresión de la forma $a^{2}-b^{2}$, que se factoriza como $(a-b)(a+b)$.
Diferencia de cubos: Expresión de la forma $a^{3}-b^{3}$, que se factoriza como $(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$.

Temas y conceptos clave

Cocientes notablesDiferencia de cuadradosDiferencia de cubosSuma de cubosDiferencia de potenciasUn cociente notable puede resolverse directamente mediante una identidad algebraica.La diferencia de cuadrados se divide entre la suma de sus raíces para obtener su diferencia.La diferencia de cubos se divide entre la diferencia de sus raíces cúbicas.La suma de cubos se divide entre la suma de sus raíces cúbicas.

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se resuelve una diferencia de cuadrados?

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¿Cuál es la fórmula de la diferencia de cubos?

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¿Cómo identificar un cociente notable?

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📌 Antes de leer esto

• Productos notables
• Potenciación con exponentes naturales
• Raíces cuadradas y cúbicas de monomios
• Operaciones con polinomios

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Factorización de polinomios mediante productos notables

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Cocientes notables

Existen ciertas divisiones cuyo cociente puede ser escrito directamente. A este tipo de divisiones se les denomina cocientes notables.

La diferencia de dos cuadrados perfectos dividida entre la suma de las raíces es igual a la diferencia de sus raíces. Y si la división es para la diferencia de sus raíces, el cociente es igual a la suma de las raíces.

4 256 Calcular el cociente Se

5x° + 8yz

Como 25x* - 64yZ es la diferencia de dos cuadrados perfectos y 5x’ +8yz’ es la suma de sus raíces, el cociente es: 25x" -64y z% _

5x? -8yz* 5x? +8yz* ds

La diferencia de cubos perfectos dividida entre la diferencia de sus raíces cúbicas es igual al cuadrado de la primera raíz, más el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.

a-b° ae

=a +ab+b’

Si por el contrario es la suma, tenemos: a+b at

=a’-ab+b’

Ejemplo 1 Calcular el cociente A 6p- 2qr Solución 6p-2qr” es la diferencia de los cubos perfectos 216p*-8q'1” Por lo tanto:

216p*-8q 7

Sg? 36p? +12p+4g'1*

La diferencia de

dos potencias de exponentes iguales, ya sea pares o impares, siempre es divisible entre la diferencia de sus bases.

TY)

=*-iyry

La suma de potencias de exponentes iguales impares siempre es divisible, exactamente, entre la suma de sus bases.

ey, x-y

yy y + y"

La diferencia de potencias de exponentes iguales pares siempre es divisible, exactamente, entre la suma de sus bases.

IVA x+y

Una suma de potencias iguales pares nunca será divisible exactamente entre la suma de sus bases; tampoco lo será la diferencia de potencias iguales impares si se divide entre la suma de sus bases.

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