Un terreno rectangular tiene un largo tres veces mayor que su ancho y su perímetro es de 240 m. ¿Cuáles son sus dimensiones? Si el costo es de \120$ por metro cuadrado, ¿cuánto debe pagar Juan Carlos?

30 m de ancho, 90 m de largo y \324 000$

Libro de Matemática 9 EGB

Ministerio de Educación del Ecuador

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Olimpiadas matemáticas

📄 ejercicios Matemática 🎓 secundaria · 9° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

$50\text{ cm}^2$
$270^\circ$
$36\text{ cm}$
Ancho: $30\text{ m}$ ; largo: $90\text{ m}$ ; costo: $\$ 324,000$
$\frac{4}{9}$ unidades cuadradas

📚 exercise Matemática ⭐⭐⭐⭐ Dificultad 4/5 ⏱ 8 min lectura

Solución — Página 170

Matematica 9° · Egb 9 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

Resolución de los ejercicios

Ejercicio 1

Área del cuadrado interior

El cuadrado blanco tiene lado de $10\text{ cm}$ . Como $A$ , $B$ , $C$ y $D$ son puntos medios, las diagonales del cuadrado interior miden $10\text{ cm}$ cada una.

El área de un cuadrado, usando sus diagonales, es:

$A=\frac{d_1\cdot d_2}{2}$

Por tanto:

$A=\frac{10\cdot 10}{2}=50\text{ cm}^2$

El área del cuadrado interior es $50\text{ cm}^2$ .

Ejercicio 2

Suma de los ángulos $1$ y $2$

El triángulo tiene un ángulo recto de $90^\circ$ y otro ángulo interior de $30^\circ$ . Entonces, el tercer ángulo interior mide:

$180^\circ-90^\circ-30^\circ=60^\circ$

El ángulo $1$ es exterior y suplementario del ángulo de $60^\circ$ :

$\angle 1=180^\circ-60^\circ=120^\circ$

El ángulo $2$ es exterior y suplementario del ángulo interior de $30^\circ$ :

$\angle 2=180^\circ-30^\circ=150^\circ$

Por ello:

$\angle 1+\angle 2=120^\circ+150^\circ=270^\circ$

Ejercicio 3

Perímetro de la figura

La figura está formada por seis cuadrados de lado $3\text{ cm}$ , organizados en forma escalonada.

Al recorrer el contorno exterior se cuentan $12$ lados de cuadrado. Entonces:

$P=12\cdot 3\text{ cm}=36\text{ cm}$

Los lados compartidos entre cuadrados no se incluyen porque quedan en el interior de la figura.

Ejercicio 4

Dimensiones y costo del terreno

Sea $x$ el ancho del terreno. El largo es tres veces el ancho:

$L=3x$

El perímetro es $240\text{ m}$ :

$2(L+x)=240$

Sustituyendo $L=3x$ :

$2(3x+x)=240$

$8x=240$

$x=30\text{ m}$

Por tanto, el largo es:

$L=3(30)=90\text{ m}$

El área del terreno es:

$A=90\cdot 30=2700\text{ m}^2$

El costo total es:

$2700\cdot 120=324000$

Juan Carlos debe pagar $ $324\,000$ .

Ejercicio 5

Área del cuadrado interior

Sea $c$ la hipotenusa del triángulo rectángulo isósceles y $s$ el lado del cuadrado. La altura correspondiente a la hipotenusa es la mitad de esta:

$h=\frac{c}{2}$

Por semejanza de triángulos, el ancho del triángulo a una altura $s$ desde la base es $c-2s$ . Ese ancho coincide con el lado superior del cuadrado:

$s=c-2s$

$3s=c$

$s=\frac{c}{3}$

El área del cuadrado es:

$A_c=s^2=\frac{c^2}{9}$

Como el triángulo es rectángulo y su altura a la hipotenusa es $\frac{c}{2}$ , su área es:

$1=\frac{c\cdot \frac{c}{2}}{2}=\frac{c^2}{4}$

Así:

$c^2=4$

Finalmente:

$A_c=\frac{4}{9}$

El área del cuadrado $PQRS$ es $\frac{4}{9}$ unidades cuadradas.

Contenido de la página

Olimpiadas matemáticas

La página propone cinco problemas de razonamiento geométrico y algebraico. Se solicita calcular áreas, perímetros, ángulos, dimensiones y costos, justificando cada procedimiento.

Fórmulas y ecuaciones

Área de un cuadrado con diagonales: $A=\frac{d_1d_2}{2}$

Perímetro de un rectángulo: $P=2(L+a)$

Área de un rectángulo: $A=L\cdot a$

Suma de ángulos interiores de un triángulo: $180^\circ$

$A=\frac{d_1d_2}{2}$

$P=2(L+a)$

$A=L\cdot a$

$s=c-2s$

$A_{triángulo}=\frac{c^2}{4}$

Glosario (5)

Punto medio: Punto que divide un segmento en dos partes de igual longitud.
Diagonal: Segmento que une dos vértices no consecutivos de un polígono.
Ángulos suplementarios: Dos ángulos cuya suma es igual a $180^\circ$.
Hipotenusa: Lado opuesto al ángulo recto en un triángulo rectángulo.
Semejanza: Relación entre figuras que tienen la misma forma y cuyos lados correspondientes son proporcionales.

Temas y conceptos clave

Áreas de cuadradosÁngulos interiores y exterioresPerímetros de figuras compuestasEcuaciones aplicadas a terrenos rectangularesSemejanza de triángulosÁrea usando diagonalesÁngulos suplementariosPerímetro de una figura escalonadaRelación largo-anchoÁrea y costo de un terrenoTriángulo rectángulo isóscelesProporcionalidad y semejanza

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Figuras de la página (3)

Triángulo rectángulo con un ángulo interior de $30^\circ$ y dos ángulos exteriores marcados con $1$ y $2$. — Figura 2 image

Figura escalonada formada por seis cuadrados iguales, distribuidos en columnas de uno, dos y tres cuadrados. — Figura 3 image

Triángulo rectángulo isósceles con un cuadrado interior apoyado sobre la hipotenusa. — Figura 4 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calcula el área de un cuadrado usando sus diagonales?

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¿Cómo calcular el área de un cuadrado dentro de un triángulo rectángulo?

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📌 Antes de leer esto

• Reconocer las propiedades de cuadrados y rectángulos
• Calcular áreas y perímetros
• Aplicar la suma de ángulos interiores de un triángulo
• Resolver ecuaciones lineales sencillas
• Comprender la semejanza de triángulos

Siguiente tema sugerido

Resolución de problemas geométricos mediante semejanza y relaciones métricas

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Olimpiadas matemáticas

Si cada lado del cuadrado blanco mide 10 cm y A, B, €, D son puntos medios de cada lado, ¿cuál es el área del cuadrado azul?

Argumenta la solución:

¿Cuál es la suma de los ángulos marcados con 1 y 2 en la figura?

Argumenta la solución:

La figura que se muestra consta de 6 cuadrados, con lado de 3 cm. ¿Cuál es su perímetro?

Argumenta la solución:

Juan Carlos desea comprar un terreno de forma rectangular. Una inmobiliaria le ofrece un lote cuyo largo es tres veces más que el ancho y de perímetro tiene 240 m. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno? Si el costo del metro cuadrado es de $ 120, ¿cuánto tendrá que pagar Juan Carlos por el terreno?
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