Olimpiadas matemáticas

Resolución de los ejercicios

Como ABC es un triángulo rectángulo y \angle BAC=60^\circ, se tiene:

\angle ABC=180^\circ-90^\circ-60^\circ=30^\circ

M es el punto medio de la hipotenusa AB. En un triángulo rectángulo, el punto medio de la hipotenusa equidista de los tres vértices; por tanto:

MA=MB=MC

En el triángulo AMC, como MA=MC y \angle MAC=60^\circ, también \angle MCA=60^\circ. Entonces:

\angle AMC=60^\circ

Los puntos B, M y A están alineados, por lo que \angle BMC y \angle AMC son suplementarios:

\angle BMC=180^\circ-60^\circ=120^\circ

El peso total de las cuatro personas es:

4\times80=320\text{ kg}

El peso total de las cinco personas es:

5\times80,2=401\text{ kg}

Por lo tanto, el peso de la persona agregada es:

401-320=81\text{ kg}

El diseño tiene 4 líneas verticales y 4 líneas horizontales, contando los bordes.

Para formar un rectángulo se eligen 2 líneas verticales y 2 líneas horizontales:

\binom{4}{2}\times\binom{4}{2}=6\times6=36

Por tanto, se pueden contar rectángulos de distintos tamaños, no solo los 9 pequeños.

Sea x el precio de un caramelo, en centavos. El dinero de Danilo se puede expresar de dos formas:

5x+10=7x-22

Resolviendo:

10+22=7x-5x

32=2x

x=16

Cada caramelo cuesta 16 centavos.

Para las puertas del 1 al 9 se utiliza una placa por puerta:

9\text{ placas}

Desde la puerta 10 en adelante se utilizan dos placas por puerta. Si hay n puertas:

9+2(n-9)=35

2(n-9)=26

n-9=13

n=22

También se verifica: 9 placas para las primeras nueve puertas y 13\times2=26 placas para las puertas 10 a 22, en total 35 placas.

Un octágono regular tiene 8 partes simétricas. Cada doblez que empalma perfectamente las piezas duplica la cantidad de partes superpuestas:

1\longrightarrow2\longrightarrow4\longrightarrow8

Para obtener 8 partes superpuestas se necesitan:

2^3=8

Por ello, el número máximo de dobleces es 3.

La región sombreada está formada por dos triángulos.

En el cuadrado superior, la diagonal lo divide en dos triángulos iguales. Su área es:

A_1=\frac{1\times1}{2}=\frac{1}{2}\text{ cm}^2

En el cuadrado inferior derecho, la diagonal forma un triángulo cuya base y altura miden 1 y \frac{1}{2}, respectivamente:

A_2=\frac{1\times\frac{1}{2}}{2}=\frac{1}{4}\text{ cm}^2

El área total sombreada es:

A=A_1+A_2=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\text{ cm}^2