Áreas en la carpintería

Situación cotidiana

El perímetro del hexágono regular es 216\ \text{cm}.

Un hexágono regular tiene seis lados iguales:

l=\frac{216}{6}=36\ \text{cm}

Al unir el centro del hexágono con sus seis vértices se obtienen 6 triángulos equiláteros iguales. Cada triángulo tiene lado 36\ \text{cm}.

La altura de cada triángulo es:

h=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot36=18\sqrt{3}\approx31,2\ \text{cm}

Su área es:

A_t=\frac{36\cdot18\sqrt{3}}{2}=324\sqrt{3}\approx561,2\ \text{cm}^2

Por tanto, el área del hexágono es:

A=6\cdot324\sqrt{3}=1944\sqrt{3}\approx3367,1\ \text{cm}^2

Se necesitan aproximadamente 3367,1\ \text{cm}^2 de vidrio para una mesa.

Si el lado se duplica, el área se multiplica por 2^2=4.

Área de la mesa grande:

A_g=4\cdot3367,1\approx13468,4\ \text{cm}^2

Área total para ocho mesas pequeñas y una grande:

A_T=8\cdot3367,1+13468,4\approx40405,2\ \text{cm}^2

Conversión a metros cuadrados:

A_T=\frac{40405,2}{10000}\approx4,0\ \text{m}^2

El área de la mesa grande no es el doble, sino cuatro veces mayor, porque el área depende del cuadrado de la medida del lado.

Resuelve la situación

El perímetro es 336\ \text{cm}, por lo que el lado mide:

l=\frac{336}{6}=56\ \text{cm}

El apotema del hexágono regular es:

a=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot56=28\sqrt{3}\approx48,5\ \text{cm}

Su área es:

A=\frac{P\cdot a}{2}=\frac{336\cdot28\sqrt{3}}{2}=4704\sqrt{3}\approx8147,6\ \text{cm}^2

La distancia entre dos lados opuestos es 2a\approx97,0\ \text{cm}, menor que 100\ \text{cm}. Por eso, sí puede colocarse en la pared si se orienta adecuadamente.

Para el pentágono regular de lado 20\ \text{cm}:

P=5\cdot20=100\ \text{cm}

a=\frac{20}{2\tan36^\circ}\approx13,8\ \text{cm}

A_p=\frac{100\cdot13,8}{2}\approx688,2\ \text{cm}^2

Para el hexágono regular de lado 18\ \text{cm}:

P=6\cdot18=108\ \text{cm}

a=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot18=9\sqrt{3}\approx15,6\ \text{cm}

A_h=\frac{108\cdot15,6}{2}\approx841,8\ \text{cm}^2

La baldosa hexagonal cubre una superficie mayor que la pentagonal, por lo que conviene escoger la hexagonal si se busca cubrir la superficie con menos piezas.