Operaciones con polinomios

Idea principal

Al sumar polinomios, se destruyen los paréntesis y se agrupan los términos semejantes. También se pueden ordenar los términos en forma descendente y completar los términos que falten.

Ejemplo 3

Se suman los polinomios:

\frac{1}{2}x^{3}+2x^{2}y-3y^{3}+\left(-\frac{2}{5}x^{3}-\frac{1}{4}x^{2}y-3xy^{2}+4y^{3}\right)

Destruimos el paréntesis:

\frac{1}{2}x^{3}+2x^{2}y-3y^{3}-\frac{2}{5}x^{3}-\frac{1}{4}x^{2}y-3xy^{2}+4y^{3}

Agrupamos términos semejantes:

\left(\frac{1}{2}x^{3}-\frac{2}{5}x^{3}\right)+\left(2x^{2}y-\frac{1}{4}x^{2}y\right)-3xy^{2}+\left(-3y^{3}+4y^{3}\right)

Reducimos cada grupo:

\frac{1}{2}-\frac{2}{5}=\frac{5}{10}-\frac{4}{10}=\frac{1}{10}

2-\frac{1}{4}=\frac{8}{4}-\frac{1}{4}=\frac{7}{4}

Por tanto, el resultado es:

\boxed{\frac{1}{10}x^{3}+\frac{7}{4}x^{2}y-3xy^{2}+y^{3}}

Ejemplo 4

Se pide calcular \left(P_{1}+P_{3}\right)-P_{2}, donde:

P_{1}=-4a^{4}-3a^{2}-a+1

P_{2}=2a^{5}-\left[a^{4}-\left(7a^{2}+1\right)-3a^{3}\right]

P_{3}=10a^{4}-8a^{3}-3a^{2}

Primero sumamos P_{1} y P_{3}:

P_{1}+P_{3}=\left(-4a^{4}+10a^{4}\right)-8a^{3}+\left(-3a^{2}-3a^{2}\right)-a+1

P_{1}+P_{3}=6a^{4}-8a^{3}-6a^{2}-a+1

Ahora simplificamos P_{2}:

P_{2}=2a^{5}-\left[a^{4}-7a^{2}-1-3a^{3}\right]

Al cambiar los signos del corchete:

P_{2}=2a^{5}-a^{4}+3a^{3}+7a^{2}+1

Restamos P_{2} de la suma obtenida:

\begin{aligned} \left(P_{1}+P_{3}\right)-P_{2}&=6a^{4}-8a^{3}-6a^{2}-a+1\\ &\quad-\left(2a^{5}-a^{4}+3a^{3}+7a^{2}+1\right) \end{aligned}

Distribuimos el signo negativo y reducimos términos semejantes:

-2a^{5}+6a^{4}+a^{4}-8a^{3}-3a^{3}-6a^{2}-7a^{2}-a+1-1

\boxed{-2a^{5}+7a^{4}-11a^{3}-13a^{2}-a}

El término independiente se cancela porque 1-1=0.

Interdisciplinariedad: Matemática y Música

Las frecuencias de vibración de una cuerda, como las de un piano, pueden relacionarse con las raíces de un polinomio. Un polinomio que tiene exactamente dos monomios recibe el nombre de binomio.