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El geoplano consiste en un tablero generalmente cuadrado, de tamaño y materiales variables, que contiene clavos, pivotes u otros elementos que sobresalen de la superficie. Esto produce una cuadrícula sobre la cual se colocan ligas (bandas elásticas) para formar figuras geométricas.

Respuesta orientativa: Es una herramienta manipulativa que permite construir figuras, perímetros y áreas visualizando vértices en puntos de una retícula.

El mosaico consiste en llenar el plano con repeticiones de figuras sin que se traslapen ni dejen huecos: el espacio se puede teselar.

• Mosaico: es la composición que se realiza.
• Teselado: es la unión de las piezas utilizadas; su complejidad depende de las figuras empleadas.
• Los teselados pueden ser regulares, semirregulares o con otras formas.
• Manera sencilla de cubrir el plano: usar polígonos regulares como el cuadrado, el rectángulo y el triángulo, sin mezclar figuras.
• La complejidad aumenta cuando se mezclan figuras o se usan varios tipos de ellas.

Condición matemática de un teselado: en un vértice donde se juntan n polígonos regulares de k lados, los ángulos deben sumar 360^{\circ}:

n \cdot \frac{(k-2)\cdot 180^{\circ}}{k} = 360^{\circ}

Ejemplo con cuadrados (k=4, ángulo 90^{\circ}): n \cdot 90^{\circ} = 360^{\circ} \Rightarrow n = 4 cuadrados por vértice.

Respuesta orientativa: El cuadrado, el rectángulo y el triángulo equilátero teselan el plano por sí solos; al combinar tipos distintos se obtienen teselados semirregulares.

El concepto de reflexión ayuda al manejo de la simetría. Los estudiantes de 4.° grado deberán:

1. Identificar la simetría en figuras.
2. Completar diseños geométricos mediante ella.
3. Trazar figuras simétricas con regla y compás, lo que implica manejar los tipos de simetría.

Para comenzar a identificarla se usa el reflejo: si una figura u objeto es reflejado a través de una línea, llamada eje de simetría, entonces hay simetría.

Definición: la reflexión es la transformación de los pares de puntos que se encuentran a una misma distancia entre ellos o sobre una línea o punto de reflexión.

Formalmente, si P' es la imagen de P respecto al eje r, entonces r es la mediatriz del segmento \overline{PP'}:

d(P, r) = d(P', r) \quad \text{y} \quad \overline{PP'} \perp r

Ejemplo: si P está a 3 \, \text{cm} del eje, su imagen P' queda también a 3 \, \text{cm} del eje, en el lado opuesto, formando un ángulo recto con él.

Respuesta orientativa: Toda figura simétrica tiene al menos un eje de simetría; al reflejarla respecto de ese eje se obtiene la misma figura.

Cincuenta Centavos — Balanza, México, 1886. Plata. Diámetro 30 \, \text{mm}. Colección Casa de Moneda de México. Museo Numismático Nacional.