SEP/CONALITEG

180/259

Proporción áurea y construcción de rectángulos dorados con regla y compás

📄 teoria matematica 🎓 primaria · 5° Primaria México 🇲🇽 MX 🗣 Español

Página 180

180 de 259

Anterior Página 180 / 259 Siguiente

Respuesta rápida

Cortando el segmento al 61,8% se obtienen partes en razón áurea φ≈1,618. 2) Lado mayor ÷ lado menor = φ. 3) Construcción: cuadrado ABCD, punto medio M, radio MD ⇒ BE = a(1+√5)/2, y BE/AB = φ: ABEF es dorado.

📚 theory matematica ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 180

Múltiples lenguajes. Libro de Educación Primaria Grado 5° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejercicio 1

Dos partes de un segmento tienen proporción áurea si la razón entre el segmento completo con la parte más grande es igual a la razón entre la parte más grande con la parte más pequeña.

Sea el segmento total $AB$ dividido en $AC$ (parte mayor) y $CB$ (parte menor), con $C$ sobre $AB$ .
La condición de proporción áurea es: $\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{CB}=\varphi \approx 1{,}618$
Para cortarlo prácticamente: se corta en el $61{,}8\%$ de la longitud total, es decir $AC=0{,}618\cdot AB, \qquad CB=0{,}382\cdot AB$
Comprobación: $ $\frac{AB}{AC}=\frac{1}{0{,}618}\approx$ 1{,}618 $y @@MATH_2@@\approx$ 1{,}618$; ambas razones coinciden con $\varphi$ .

Respuesta

Dividiendo el segmento al $61{,}8\%$ de su longitud se obtienen dos partes en proporción áurea: $\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{CB}=\varphi\approx 1{,}618$ .

Ejercicio 2

Explicar por qué los rectángulos dorados se llaman así y cómo se obtiene phi.

Un rectángulo dorado es aquel cuyo lado mayor $L$ y lado menor $l$ cumplen la proporción áurea.
Al dividir el lado mayor entre el lado menor se obtiene: $\frac{L}{l}=\varphi \approx 1{,}618$
Este número $\varphi$ es la razón áurea (phi), el mismo valor que aparece al dividir un segmento en proporción áurea.

Respuesta

Se llaman así porque al dividir la longitud del lado mayor entre la del lado menor se obtiene $\varphi\approx1{,}618$ , la razón áurea.

Ejercicio 3

Construir un rectángulo dorado con regla y compás (pasos 1, 2 y 3).

Ejercicio 3

1 Paso 1

Se traza un cuadrado $ABCD$ de lado $a$ .
Entonces $AB=BC=CD=DA=a$ .

Respuesta

Cuadrado $ABCD$ de lado $a$ .

Ejercicio 3

2 Paso 2

Se localiza el punto medio $M$ del lado $BC$ , de modo que $BM=MC=\dfrac{a}{2}$ .
Se traza la diagonal $MD$ . En el triángulo rectángulo $MCD$ se aplica el teorema de Pitágoras: $MD=\sqrt{MC^{2}+CD^{2}}=\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+a^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+a^{2}}=\sqrt{\frac{5a^{2}}{4}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$

Respuesta

$MD=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}\approx 1{,}118\,a$ .

Ejercicio 3

3 Paso 3

Con centro en $M$ y radio $MD$ , se traza un arco que corta la prolongación del lado $BC$ en el punto $E$ .
Como el arco tiene centro $M$ y radio $MD$ , entonces $ME=MD=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$ .
La longitud del lado extendido es: $BE=BM+ME=\frac{a}{2}+\frac{a\sqrt{5}}{2}=\frac{a(1+\sqrt{5})}{2}$
Se traza el rectángulo $DCEF$ (verde) sobre $CE$ y $CD$ .
El rectángulo $ABEF$ tiene lado menor $AB=a$ y lado mayor $BE=\dfrac{a(1+\sqrt{5})}{2}$ . Su razón es: $\frac{BE}{AB}=\frac{\frac{a(1+\sqrt{5})}{2}}{a}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\varphi\approx 1{,}618$

Respuesta

El rectángulo $ABEF$ es un rectángulo dorado, pues $\dfrac{BE}{AB}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}=\varphi\approx1{,}618$ .

Contenido de la página

Proporción áurea

Dos partes de un segmento tienen proporción áurea si la razón entre el segmento completo con la parte más grande es igual a la razón entre la parte más grande con la parte más pequeña.

Así, para dividir cualquier segmento de recta en dos partes cuya razón sea áurea, basta cortarlo al 61.8 %, aproximadamente, de su longitud.

También hay rectángulos dorados, llamados así porque al dividir la longitud del lado mayor entre la longitud del lado menor se obtiene phi. Pero, ¿cómo se pueden construir utilizando sólo regla y compás?

Construcción

Se traza un cuadrado ABCD.
Se dibuja el punto medio M del lado BC y se traza la diagonal MD.
Con centro en MD, se traza un arco de circunferencia que se extienda hasta la prolongación del lado BC. Se llama E a ese punto y se traza el rectángulo DCEF (verde). El rectángulo ABEF es un rectángulo dorado.

Ejemplos resueltos

Dividir un segmento de 10 cm en dos partes con proporción áurea.

Parte mayor: $0{,}618\times 10=6{,}18\,\text{cm}@@MATH_0@@.\n3$ . Comprobación: $10/6{,}18\approx1{,}618$ y $6{,}18/3{,}82\approx1{,}618$ . Respuesta: 6,18 cm y 3,82 cm.

Un cuadrado ABCD tiene lado 4 cm. ¿Cuánto mide la diagonal MD si M es punto medio de BC?

$MC=4/2=2\,\text{cm}$ ; $MD=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\approx4{,}47\,\text{cm}$ . Respuesta: $MD=2\sqrt{5}\approx4{,}47\,\text{cm}$ .

Tabla

Paso	Acción	Resultado
1	Trazar el cuadrado ABCD	Lados iguales $=a$
2	Punto medio M de BC y diagonal MD	$MD=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$
3	Arco de centro M y radio MD hasta la prolongación de BC en E	$BE=\dfrac{a(1+\sqrt{5})}{2}$
4	Trazar DCEF y el rectángulo ABEF	$\dfrac{BE}{AB}=\varphi\approx1{,}618$ (dorado)

Diagrama

flowchart LR
  A[1. Trazar cuadrado ABCD de lado a] --> B[2. Marcar punto medio M de BC y trazar diagonal MD]
  B --> C[3. Con centro M y radio MD, arco hasta la prolongación de BC en E]
  C --> D[Trazar rectángulo DCEF verde]
  D --> E[ABEF es rectángulo dorado: BE/AB = φ]

Fórmulas y ecuaciones

$\frac{\text{segmento completo}}{\text{parte mayor}}$ = $\frac{\text{parte mayor}}{\text{parte menor}}$ $=\varphi\approx1{,}618$

$\varphi=$ $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

$\text{Corte áureo}$ =61{,}8% $\text{ de la longitud}$

$\frac{AB}{AC}$ = $\frac{AC}{CB}$ $=\varphi$ $\approx$ 1{,}618

$AC=0{,}618\cdot$ AB

MD= $\sqrt{MC^{2}+CD^{2}}$ = $\frac{a\sqrt{5}}{2}$

BE=BM+ME= $\frac{a}{2}$ + $\frac{a\sqrt{5}}{2}$ = $\frac{a(1+\sqrt{5})}{2}$

$\frac{BE}{AB}$ = $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ $=\varphi$

Glosario (4)

Proporción áurea: Igualdad de razones AB/AC = AC/CB cuando un punto C divide el segmento AB en una parte mayor y una menor.
Razón áurea (phi): Número φ = (1+√5)/2 ≈ 1,618, resultado de dividir la parte mayor entre la menor en una división áurea.
Rectángulo dorado: Rectángulo cuyo lado mayor dividido entre el lado menor da como resultado la razón áurea φ.
Diagonal: Segmento que une dos vértices no consecutivos de una figura; en el cuadrado MD une el punto medio M con el vértice D.

Preguntas para practicar

¿Cómo puedes dividir una tira de papel de 20 cm en dos partes con proporción áurea?

Se corta al 61,8% de 20 cm, es decir en 12,36 cm; la otra parte mide 7,64 cm y 20/12,36 = 12,36/7,64 ≈ 1,618, la razón áurea.

¿Por qué el rectángulo DCEF que se agrega al cuadrado permite obtener un rectángulo dorado?

Porque el arco transfiere la longitud MD desde M hasta E, haciendo que el lado BE = a(1+√5)/2; al dividirlo entre el lado a del cuadrado se obtiene φ, por lo que ABEF cumple la proporción áurea.

Temas y conceptos clave

Proporción áurea en segmentosRazón áurea φ ≈ 1,618Rectángulos doradosConstrucción con regla y compásproporción áurearazón áureaphi (φ)rectángulo doradopunto mediodiagonalarco de circunferencia

¿Te fue útil esta página?

Figuras de la página (4)

Segmento AB dividido en C: segmento completo AB (azul), parte mayor AC (verde) y parte menor CB (amarillo), representando la proporción áurea. — Figura 1 image

Cuadrado azul ABCD, primer paso de la construcción. — Figura 2 image

Cuadrado azul ABCD con punto medio M en BC y diagonal MD trazada. — Figura 3 image

Figura final: cuadrado ABCD con punto medio M, diagonal MD, arco de circunferencia de centro M que corta la prolongación de BC en E, y rectángulos ABEF (azul) y DCEF (verde). — Figura 4 image

Preguntas que la gente también hace

¿Qué es la proporción áurea y cómo se aplica a un segmento?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se construye un rectángulo dorado con regla y compás?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Por qué un rectángulo se llama dorado y qué es el número phi?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Rectángulos y cuadrados: lados y área
• Teorema de Pitágoras
• Punto medio de un segmento
• Razón entre dos longitudes

Siguiente tema sugerido

Aplicaciones de la razón áurea en el arte y la naturaleza (espirales, proporciones en cuadros)

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1011 caracteres

Dos partes de un segmento tienen proporción áurea si la razón entre el segmento completo con la parte más grande es igual a la razón entre la parte más grande con la parte más pequeña.

Así, para diuidir cualquier segmento de recta en dos partes cuya razón sea áurea, basta cortarlo al 61.8 %,aproximadamente, de su longitud.

.También hay rectángulos dorados, llamados asíporque al diuidir la longitud del lado mayor entre la longitud del lado menor se obtiene phi. Pero, icómo se pueden construir utilizando sólo regla y compás?

Con el centro en MD, se traza un arco de circunferencia que se extienda hasta la prolongación del lado BC. Se llama E a ese punto y se traza el rectángulo DCEF (uerde). Elrectángulo ABEF es un rectángulo dorado.

179

![](page=0,bbox=[229, 301, 1070, 452])

![](page=0,bbox=[285, 798, 512, 1042])

1.Se traza un cuadrado ABCD.

![](page=0,bbox=[831, 806, 1058, 1041])

2.Se dibuja el punto medio M del lado BCy se traza la diagonal MD.

![](page=0,bbox=[509, 1150, 865, 1409])

Páginas cercanas