Describa los pasos para trazar la espiral áurea a partir de un rectángulo dorado.

Espiral áurea = arcos de los cuadrados anidados

Libro de Multiples Lenguajes 5 grado

SEP/CONALITEG

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Rectángulos dorados anidados y la espiral áurea

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Respuesta rápida

El rectángulo dorado se divide en un cuadrado y otro rectángulo dorado (razón φ ≈ 1,618 se conserva). Uniendo los arcos de cada cuadrado se traza la espiral áurea o dorada.

📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 4 min lectura

Solución — Página 181

Múltiples lenguajes. Libro de Educación Primaria Grado 5° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Contenido de la página

La página continúa el estudio de los rectángulos dorados (razón áurea $\varphi$ ) y presenta dos ideas clave:

Anidamiento de rectángulos dorados. No solo el rectángulo $ABEF$ es dorado, sino también el pequeño $DCEF$ que queda al recortarle un cuadrado de lado igual al lado menor.
Es-tructura de la división. Para cada rectángulo dorado obtenido, se divide en dos partes: un cuadrado cuyo lado es igual al lado menor del rectángulo, y otro rectángulo dorado (el que queda).
Espiral áurea. Si se traza el "camino" formado por arcos de circunferencia (el texto los llama diagonales) de cada cuadrado, se obtiene la espiral áurea o dorada.

Demostración de que el rectángulo restante vuelve a ser dorado

Sea un rectángulo dorado de lados $a$ (menor) y $b$ (mayor) con $\dfrac{b}{a} = \varphi$ .
Al quitarle un cuadrado de lado $a$ , queda un rectángulo de lados $a$ y $b-a$ .
Verificamos la razón: $\dfrac{a}{b-a}$ . Como $b = \varphi a$ , entonces $b - a = \varphi a - a = (\varphi-1)a$ .
Por lo tanto $\dfrac{a}{b-a} = \dfrac{a}{(\varphi-1)a} = \dfrac{1}{\varphi-1}$ .
Como $\varphi$ satisface $\varphi^{2} = \varphi + 1$ , se tiene $\varphi - 1 = \dfrac{1}{\varphi}$ .
Así, $\dfrac{1}{\varphi-1} = \varphi$ : el rectángulo que queda también es dorado.
El proceso se puede repetir infinitamente: $\varphi, \dfrac{1}{\varphi}, \dfrac{1}{\varphi^{2}}, \dots$

Cómo se construye la espiral áurea

Partimos del rectángulo dorado grande y lo dividimos en cuadrado + rectángulo dorado.
Dividimos el nuevo rectángulo dorado en otro cuadrado + rectángulo dorado más pequeño.
Repetimos el procedimiento cuantas veces se quiera (los cuadrados se hacen cada vez más pequeños).
En cada cuadrado trazamos un arco de circunferencia que une dos vértices opuestos, usando como radio el lado del cuadrado.
Uniendo los arcos consecutivos obtenemos una curva continua: la espiral áurea o dorada.

Nota de verificación: la razón áurea es $\varphi = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$ .

Respuesta: Al dividir recursivamente un rectángulo dorado en un cuadrado y otro rectángulo dorado, y unir los arcos de los cuadrados, se obtiene la espiral áurea (o dorada).

Contenido de la página

Además, no sólo el rectángulo $ABEF$ es dorado, sino que también el pequeño $DCEF$ .

Esto implica que podemos continuar construyendo rectángulos dorados, dentro de rectángulos dorados. Para cada rectángulo dorado que se obtiene, se divide en dos partes: un cuadrado cuyo lado sea igual al lado menor del rectángulo y otro rectángulo dorado como el siguiente:

Figura 1: rectángulo dorado dividido recursivamente en cuadrados de distintos colores

Ahora, traza siguiendo el "camino" de las diagonales de los cuadrados para formar lo que se conoce como la espiral áurea o dorada.

Figura 2: espiral áurea trazada con arcos dentro del rectángulo dorado

Ejemplos resueltos

Un rectángulo dorado mide $b = 16{,}18 \, \text{cm}$ y $a = 10 \, \text{cm}$ . ¿Qué rectángulo queda después de quitarle el cuadrado de lado $a$ ?

Lado del cuadrado: $a = 10 \, \text{cm}$ .
Lado restante largo: $b - a = 16{,}18 - 10 = 6{,}18 \, \text{cm}$ .
Nuevo rectángulo: lados $10 \, \text{cm}$ y $6{,}18 \, \text{cm}$ .
Razón: $\dfrac{10}{6{,}18} \approx 1{,}618 = \varphi$ , sigue siendo dorado.

Respuesta: Un rectángulo de $10 \, \text{cm} \times 6{,}18 \, \text{cm}$ , también dorado.

Tabla

Figura	Lado mayor	Lado menor	Razón (lado mayor / menor)
Rectángulo original	16,18 cm	10 cm	1,618
Tras 1.er cuadrado	10 cm	6,18 cm	1,618
Tras 2.º cuadrado	6,18 cm	3,82 cm	1,618
Tras 3.er cuadrado	3,82 cm	2,36 cm	1,618

Diagrama

flowchart LR
  A["Rectángulo dorado\n16,18 × 10"] --> B["Cuadrado\n10 × 10"]
  A --> C["Rectángulo dorado\n10 × 6,18"]
  C --> D["Cuadrado\n6,18 × 6,18"]
  C --> E["Rectángulo dorado\n6,18 × 3,82"]
  E --> F["Cuadrado\n3,82 × 3,82"]
  E --> G["...rectángulo dorado menor"]

Fórmulas y ecuaciones

$\dfrac{\text{lado mayor}}{\text{lado menor}}$ = $\varphi$ $\approx$ 1{,}618

$\varphi$ - 1 = $\dfrac{1}{\varphi}$

$\varphi$ = $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ $\approx$ 1{,}618

$\dfrac{b}{a}$ = $\varphi$

$\dfrac{a}{b-a}$ = $\dfrac{1}{\varphi-1}$ = $\varphi$

$\varphi^2$ = $\varphi$ + 1

Glosario (4)

Rectángulo dorado: Rectángulo cuyos lados están en la razón áurea φ ≈ 1,618; al quitarle un cuadrado de lado igual a su lado menor, queda otro rectángulo dorado.
Razón áurea (φ): Número φ = (1+√5)/2 ≈ 1,618, que relaciona el lado mayor y el menor de un rectángulo dorado.
Espiral áurea (dorada): Curva formada por arcos de circunferencia trazados en los cuadrados anidados de una división sucesiva de rectángulos dorados.
Cuadrado inscrito: Cuadrado que se forma dentro de un rectángulo dorado usando como lado el lado menor del rectángulo.

Preguntas para practicar

¿Por qué se dice que la construcción de rectángulos dorados es "infinita"?

Porque cada rectángulo dorado que queda tras quitar el cuadrado vuelve a ser dorado, y el proceso puede repetirse indefinidamente, generando cuadrados cada vez más pequeños dentro del mismo rectángulo original.

¿Dónde has visto figuras parecidas a la espiral áurea?

Se observa en conchas como la nautilus, en la disposición de semillas de girasol, en galaxias, en caracolas, y en obras de arte y arquitectura donde se busca armonía y proporción.

Temas y conceptos clave

Rectángulos dorados anidadosDivisión de un rectángulo dorado en cuadrado y rectángulo doradoConstrucción de la espiral áurea o doradarectángulo doradorazón áurea φ ≈ 1,618cuadrado inscritorecursión/geometría anidadaespiral áureaarco de circunferencia

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Figuras de la página (2)

Rectángulo negro dividido en varios cuadrados de colores (verde, azul, amarillo, morado) que se hacen progresivamente más pequeños hacia el centro derecho, mostrando la subdivisión sucesiva de rectángulos dorados. — Figura 1 image

Mismo rectángulo subdividido en cuadrados, con una curva suave verde (espiral áurea) que recorre los arcos de los cuadrados desde el cuadrado grande hacia el centro. — Figura 2 image

Preguntas que la gente también hace

¿Qué es un rectángulo dorado y cómo se reconoce?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se construye la espiral áurea paso a paso?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Por qué al quitar un cuadrado a un rectángulo dorado queda otro rectángulo dorado?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Razón entre dos cantidades
• División de rectángulos en figuras simples
• Concepto de cuadrado y rectángulo
• Nociones básicas de circunferencia y arco

Siguiente tema sugerido

Presencia de la espiral áurea en la naturaleza, el arte y la arquitectura

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 569 caracteres

Además, no sólo el rectángulo ABEF es dorado, sino que también el pequeno DCEF.

Esto implica que podemos continuar construyendo rectángulos dorados, dentro de rectángulos dorados. Para cada rectángulo dorado que se obtiene, se diuide en dos partes: un cuadrado cuyo lado sea igual al lado menor del rectángulo y otro rectángulo dorado como el siguiente:

Ahora, traza siguiendo el "camino"de las diagonales de los cuadrados para formar lo que se conoce como la espiral áureao dorada.

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