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El número de oro y su relación con la sucesión de Fibonacci

📄 teoria matematica 🎓 primaria · 5° Primaria México 🇲🇽 MX 🗣 Español

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Respuesta rápida

Sucesión: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…; 34/21 = 1.619047…; 144/89 = 1.617977…; 610/377 = 1.618037…; 1597/987 = 1.618034…, convergiendo a φ ≈ 1.61803398749.

📚 theory matematica ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 182

Múltiples lenguajes. Libro de Educación Primaria Grado 5° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejercicio 1

Escribe los primeros términos de la sucesión de Fibonacci y verifica la regla de generación.

La sucesión inicia con dos unos: $a_1 = 1$ , $a_2 = 1$ .
El tercer término es la suma de los dos anteriores: $a_3 = 1 + 1 = 2$ .
El cuarto término: $a_4 = 1 + 2 = 3$ .
El quinto: $a_5 = 2 + 3 = 5$ .
Continuando: $a_6 = 3 + 5 = 8$ , $a_7 = 5 + 8 = 13$ , $a_8 = 8 + 13 = 21$ .
Más términos: $a_9 = 13 + 21 = 34$ , $a_{10} = 21 + 34 = 55$ , $a_{11} = 34 + 55 = 89$ , $a_{12} = 55 + 89 = 144$ .
La sucesión queda: $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, \ldots$

Respuesta

$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, \ldots$

Ejercicio 2

Divide algunos términos consecutivos de la sucesión (mayor entre menor) y compara el resultado con el número de oro $\varphi = 1.61803398749$ .

Parte 2.a

$\frac{34}{21}$

Dividimos: $34 \div 21 = 1.619047\ldots$
Comparamos con $\varphi$ : $1.619047\ldots$ vs $1.618033\ldots$
La diferencia es de aproximadamente $0.001$ .

Respuesta

$\frac{34}{21} = 1.619047\ldots$

Parte 2.b

$\frac{144}{89}$

Dividimos: $144 \div 89 = 1.617977\ldots$
Comparamos con $\varphi$ : la parte decimal $0.617977$ ya es más cercana a $0.618033\ldots$ que en el caso anterior.

Respuesta

$\frac{144}{89} = 1.617977\ldots$

Parte 2.c

$\frac{610}{377}$

Dividimos: $610 \div 377 = 1.618037\ldots$
Comparamos con $\varphi$ : la parte decimal $0.618037$ difiere de $0.618033\ldots$ apenas en $0.000004$ .

Respuesta

$\frac{610}{377} = 1.618037\ldots$

Parte 2.d

$\frac{1597}{987}$

Dividimos: $1597 \div 987 = 1.618034\ldots$
Comparamos con $\varphi = 1.61803398749\ldots$ : la coincidencia es ya hasta la sexta cifra decimal.

Respuesta

$\frac{1597}{987} = 1.618034\ldots$ ; entre más grandes son los números de la sucesión, más se aproxima el cociente a $\varphi$ .

Ejercicio 3

¿Por qué la parte decimal del cociente se aproxima cada vez más al número de oro?

Recordamos que $\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.61803398749\ldots$ es el límite de la razón entre términos consecutivos de Fibonacci.
Al dividir términos consecutivos $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ con $n$ grande, el cociente se acerca a dicho límite.
Los cálculos del libro lo confirman: $1.619047\ldots$ , $1.617977\ldots$ , $1.618037\ldots$ , $1.618034\ldots$ converge a $1.61803398749\ldots$

Respuesta

Porque el límite de la razón $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ cuando $n$ tiende a infinito es exactamente $\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ .

Ejercicio 4

Lee la cita de Keith Deulin y explica qué significa.

El número $\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ es irracional: sus decimales no se repiten ni terminan.
Por definición, un objeto del mundo real (una medida física) se expresa con un número racional (una fracción de dos enteros).
Por tanto, ningún objeto real puede coincidir exactamente con la proporción áurea; solo puede acercarse mucho.

Respuesta

Como $\varphi$ es irracional, ninguna medida real puede igualarlo con exactitud; sólo aproximarse a él.

Contenido de la página

El número de oro y la sucesión de Fibonacci

El número de oro está relacionado con la sucesión de Fibonacci: comienza con dos números 1 y para obtener el siguiente se suman los dos anteriores.

$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, \ldots$

¿Cuál es su relación?

Al dividir dos números consecutivos (el mayor entre el menor) de la sucesión, el resultado se aproxima cada vez más al número de oro. Comparando con $\varphi = 1.61803398749$ :

$\frac{34}{21} = 1.619047\ldots, \quad \frac{144}{89} = 1.617977\ldots$

$\frac{610}{377} = 1.618037\ldots, \quad \frac{1597}{987} = 1.618034\ldots$

Entre más grandes son los números tomados de la sucesión, más se aproxima la parte decimal del cociente a la de $\varphi$ .

Reflexión histórica

Desde la Antigüedad se decía que el número de oro estaba relacionado con obras de arte, arquitectura y belleza estética; recientemente se ha desmitificado esa afirmación porque no hay pruebas fehacientes de su uso exacto en el pasado, aunque sí hubo proporciones cercanas.

"Estrictamente hablando, es imposible que nada del mundo real caiga dentro de la proporción áurea porque se trata de un número irracional."

Keith Deulin. Matemático británico y escritor de ciencia popular.

Ejemplos resueltos

Calcular $\frac{144}{89}$ y comparar con $\varphi$ .

$144 \div 89 = 1.617977\ldots$ 2. $\varphi = 1.61803398749\ldots$ 3. La diferencia es de aproximadamente $0.000057$ , menor que la del cociente $\frac{34}{21}$ .

Tabla

Cociente	Valor	Diferencia con φ
34/21	1.619047…	~0.001
144/89	1.617977…	~0.000057
610/377	1.618037…	~0.000004
1597/987	1.618034…	<10⁻⁶

Fórmulas y ecuaciones

$\varphi$ = 1.61803398749

$\frac{a_{n+1}}{a_n}$ $\to$ $\varphi$ $\text{ cuando }$ n $\to$ $\infty$

$\varphi$ = 1.61803398749

$\frac{34}{21}$ = $1.619047\ldots$

$\frac{144}{89}$ = $1.617977\ldots$

$\frac{610}{377}$ = $1.618037\ldots$

$\frac{1597}{987}$ = $1.618034\ldots$

Glosario (4)

Número de oro (φ): Número irracional aproximado a 1.61803398749…, obtenido al dividir sucesivos términos de la sucesión de Fibonacci.
Sucesión de Fibonacci: Sucesión numérica que comienza con 1, 1 y en la que cada término es la suma de los dos anteriores.
Número irracional: Número que no puede expresarse como fracción de dos enteros; sus decimales son infinitos y no periódicos.
Proporción áurea: Razón entre dos cantidades equivalente al número φ, asociada tradicionalmente a la belleza estética.

Preguntas para practicar

¿Cuál es la relación entre el número de oro y la sucesión de Fibonacci?

Al dividir dos números consecutivos de la sucesión (el mayor entre el menor), el cociente se aproxima cada vez más al número de oro φ ≈ 1.61803398749; a mayor tamaño de los términos, mejor la aproximación.

¿Qué opina Keith Deulin sobre la presencia del número áureo en el mundo real?

Señala que, estrictamente, nada real puede caer dentro de la proporción áurea porque φ es un número irracional, por lo que solo es posible acercarse a él, no igualarlo exactamente.

¿Se ha comprobado que en el pasado se usara el número de oro en arte y arquitectura?

No existen pruebas fehacientes; se ha desmitificado esa afirmación, aunque sí se usaron proporciones cercanas a φ en algunas obras.

Temas y conceptos clave

Número de oro (número áureo)Sucesión de FibonacciAproximación de cocientes consecutivosNúmeros irracionalesnúmero de orosucesión de Fibonaccicociente de términos consecutivosnúmero irracionalproporción áurea

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Preguntas que la gente también hace

¿Qué es el número de oro y cómo se calcula?

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¿Cómo se genera la sucesión de Fibonacci?

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¿Por qué el número áureo es irracional?

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📌 Antes de leer esto

• División de números naturales con decimales
• Nociones de sucesiones numéricas
• Concepto de fracción y cociente

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Actividades de cálculo y verificación de cocientes de Fibonacci y apreciación del número áureo en el arte

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1404 caracteres

· El número de oro, también está relacionado con la conocida sucesión de Fibonacci, jla recuerdas? Inicia con dos números 1 y luego, para obtener el siguiente número de la sucesión, se suman los dos anteriores:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597..

iY cuál es su relación?

Que si se diuiden dos números consecutiuos -el mayor entre el menor- de la sucesión de Fibonacci, el resultado se aproxima cada uez más al número de oro. Compara la parte decimal de los siguientes cocientes con el número dorado $\Phi=1.61803398749$ y obserua que entre más grandes son los números de la sucesión de Fibonacci que se toman, la parte decimal del cociente se aproxima cada uez más a la de φ.

$\begin{aligned}\frac{34}{21}=1.619047...,\quad\frac{144}{89}=1.617977...,\quad\frac{1597}{987}=1.618034...\end{aligned}$

· Desde la Antigüedad, hasta hace algunos anos, se decia que el número de oro estaba relacionado con uarias obras de arte, de arquitectura y con la belleza estética. Sin embargo,recientemente,se ha empezado a desmitificar dicha afirmación dado que no existen pruebas fehacientes de que en el pasado se utilizara dicho número, aunque sí proporciones cercanas a él, pero:

Estrictamente hablando, es imposible que nada del mundo real caiga dentro de la proporción áurea porque se trata de un número irracional.

Keith Deulin.Matemático británico y escritor de ciencia popular.

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