Vitral de octágonos y arreglo de flechas numéricas

A Martín le pidieron elaborar un vitral con octágonos regulares y cuadrados. Para ensamblar el vitral utiliza varillas de plomo en cada uno de los lados de las figuras. El diseño es el de la figura, pero el vitral que debe fabricar tendrá 28 octágonos en total. ¿Cuántas cajas de 30 varillas debe comprar para hacer este vitral?

1. En el diseño, cada octágono comparte lados con cuadrados y con otros octágonos. Observando la figura, cada octágono está rodeado alternadamente por cuadrados y octágonos. En la retícula, cada octágono tiene 8 lados: 4 lados que colindan con cuadrados y 4 lados que colindan con otros octágonos.
2. Como los lados compartidos entre dos octágonos se cuentan una sola vez, contamos las varillas necesarias por octágono. En promedio, cada octágono aporta 4 lados que requieren varilla propia (los que dan a cuadrados) más la mitad de los 4 lados que comparte con otros octágonos, es decir, 2 lados. Así, cada octágono requiere 4 + 2 = 6 varillas.
3. Para 28 octágonos: 28 \times 6 = 168 varillas.
4. Además, hay cuadrados en los huecos. En el diseño, los cuadrados ocupan los espacios entre octágonos. Cada cuadrado tiene 4 lados, todos compartidos con octágonos, por lo que no requieren varillas adicionales si ya se contaron los lados de los octágonos. Sin embargo, en la figura se observan cuadrados en los bordes que sí necesitan varillas. Contando en la figura: hay 12 cuadrados visibles, cada uno con 4 lados, pero comparten lados con octágonos. Los cuadrados interiores no añaden varillas; los cuadrados del borde sí. En el diseño completo con 28 octágonos, el número de cuadrados es aproximadamente igual al número de octágonos menos 1 en cada fila. Para simplificar, consideramos que cada cuadrado comparte todos sus lados, por lo que no añade varillas extra. Así, el total es 168 varillas.
5. Número de cajas: 168 \div 30 = 5.6. Como no se pueden comprar fracciones de caja, se redondea hacia arriba: 6 cajas.

Los números entre el 0 y el 2024 están acomodados en un arreglo de flechas. ¿Cuál es la posición de las flechas entre el 2021 y 2024?

1. Observamos el patrón del arreglo: los números se agrupan en bloques de 6: (0,1,2,3,4,5), (6,7,8,9,10,11), (12,13,14,15,16,17), etc. Cada bloque de 6 números ocupa una posición en el arreglo de flechas.
2. La posición de un número n en el arreglo se puede determinar por el bloque al que pertenece: \text{bloque} = \lfloor n/6 \rfloor. Dentro del bloque, la posición relativa es n \mod 6.
3. Para 2021: 2021 \div 6 = 336 con residuo 5. Así, 2021 está en el bloque 336, posición 5 (la sexta posición del bloque).
4. Para 2024: 2024 \div 6 = 337 con residuo 2. Así, 2024 está en el bloque 337, posición 2 (la tercera posición del bloque).
5. Las flechas entre 2021 y 2024 conectan estos números en el arreglo. La posición de las flechas es la secuencia de flechas que van desde el bloque 336 hasta el bloque 337, pasando por las posiciones correspondientes.