Probabilidad de Sucesos Dependientes

José tiene 20 botellas de jugo natural para la venta, de las cuales 10 botellas tienen escrita la palabra "premio" en su tapa. Él afirma que la probabilidad de que una persona obtenga la palabra "premio" (en la tapa) recién en la tercera botella vendida es del 30 %. ¿Es correcta dicha afirmación? Justifica tu respuesta.

1. La probabilidad de que la primera y segunda botella no tengan "premio" es: P(NP) = \left(\frac{10}{20}\right) \times \left(\frac{10}{19}\right) = \frac{100}{380} = \frac{5}{19}

2. La probabilidad de que la tercera botella tenga "premio" es: P(P) = \frac{10}{18}

3. Entonces, la probabilidad total es: P(NP) \times P(P) = \frac{5}{19} \times \frac{10}{18} = \frac{50}{342} \approx 0.146\text{ o }14.6\%

4. La afirmación de José es incorrecta, ya que la probabilidad es del 14.6 % y no del 30 %.

En una localidad, el 40 % de la población tiene cabello de color negro; el 25 %, ojos de color marrón, y el 15 %, cabellos y ojos marrones. Se escoge a una persona al azar. Si tiene los cabellos negros, ¿cuál es la probabilidad de que tenga también ojos marrones?

1. Usamos la fórmula de probabilidad condicional: P(Ojos Marrones | Cabello Negro) = \frac{P(Cabello Negro \cap Ojos Marrones)}{P(Cabello Negro)}

2. Sustituyendo los valores: P(Ojos Marrones | Cabello Negro) = \frac{0.15}{0.40} = 0.375

Una urna A contiene 7 bolas numeradas del 1 al 7. En otra urna B, hay 5 bolas numeradas del 1 al 5. Luego de lanzar una moneda equilibrada, si sale cara, se extrae una bola de la urna A; en cambio, si sale sello, se extrae de la urna B. Si salió una bola con número par, ¿cuál es la probabilidad de que fuera de la urna A?

1. La probabilidad de sacar una bola par de la urna A es: P(PA) = \frac{3}{7}

2. La probabilidad de sacar una bola par de la urna B es: P(PB) = \frac{2}{5}

3. La probabilidad total de sacar una bola par es: P(P) = \frac{1}{2} \times P(PA) + \frac{1}{2} \times P(PB) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{7} + \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} = \frac{15}{70} + \frac{14}{70} = \frac{29}{70}

4. Usamos la fórmula de Bayes: P(A | P) = \frac{P(PA)}{P(P)} = \frac{\frac{3}{7} \times \frac{1}{2}}{\frac{29}{70}} = \frac{3}{29}