Probabilidad de extraer pelotitas de una urna

Situación B: Extraemos una pelotita de una urna

La probabilidad de extraer una pelotita negra se calcula considerando las tres urnas:

• N.° de casos posibles: 6
• N.° de casos favorables: 4
• P(negra) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

• N.° de casos posibles: 8
• N.° de casos favorables: 3
• P(negra) = \frac{3}{8}

• N.° de casos posibles: 8
  • N.° de casos favorables: 2
  • P(negra) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}

La probabilidad de escoger una urna cualquiera es de \frac{1}{3}.

Entonces, la probabilidad total de extraer una pelotita negra es: P(pelotita\, extraida\, de\, color\, negro) = \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{3}{8} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{9} + \frac{1}{8} + \frac{1}{12}.

Para sumar estas fracciones, encontramos un común denominador:

• El mínimo común múltiplo de 9, 8 y 12 es 72.

Por lo tanto: \frac{2}{9} = \frac{16}{72}, \quad \frac{1}{8} = \frac{9}{72}, \quad \frac{1}{12} = \frac{6}{72}.

Sumando: P(pelotita\, extraida\, de\, color\, negro) = \frac{16}{72} + \frac{9}{72} + \frac{6}{72} = \frac{31}{72}.

Finalmente, para expresar esto como porcentaje: P(pelotita\, extraida\, de\, color\, negro) \approx \frac{31}{72} \times 100\% \approx 43\%.

Preguntas

• Se calcularon las probabilidades de extraer una pelotita negra de cada urna, considerando que la elección de la urna es aleatoria. Luego, se sumaron las probabilidades ponderadas por la probabilidad de elegir cada urna.

• Sí, porque la urna 3 no contiene pelotitas blancas. La probabilidad de extraer una pelotita blanca de las urnas 1 y 2 se calcularía de manera similar:
• Urna 1: P(blanca) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
• Urna 2: P(blanca) = \frac{5}{8}
• Entonces: P(pelotita\, extraida\, de\, color\, blanco) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{5}{8} = \frac{1}{9} + \frac{5}{24}.
• El mínimo común múltiplo de 9 y 24 es 72: \frac{1}{9} = \frac{8}{72}, \quad \frac{5}{24} = \frac{15}{72}.
• Sumando: P(pelotita\, extraida\, de\, color\, blanco) = \frac{8}{72} + \frac{15}{72} = \frac{23}{72}.
• Respuesta: La probabilidad de extraer una pelotita blanca es de aproximadamente 31.94%.