Fundamentar afirmaciones con analogías, ejemplos y contraejemplos (aumentos sucesivos del 50 %)

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Respuesta rápida

150 % = 1,5; M + 50 %M = 1,5M; 400→600→900→1350→2025; 1350 ÷ 3 = 450 = 50 % de 900; variación total 2025 − 400 = 1625.

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Solución — Página 19

Fascículo para el desarrollo de la competencia Resuelve problemas de cantidad · 2024

Ejercicio 1

Contenido de la página (págs. 36-37)

Ejercicio 1

Situación numérica: aumentos sucesivos del 50 %

Se parte de una cantidad inicial de $400$ cuyes y en cada trimestre el número de cuyes se incrementa en un $50\,\%$ . La nueva cantidad hallada en cada trimestre representa un nuevo $100\,\%$ .

Se expresa el $150\,\%$ como factor: $150\,\% = \dfrac{150}{100} = 1{,}5$ .
I trimestre: $400 \times 1{,}5 = 600$ . El aumento fue $600 - 400 = 200$ , es decir, el $50\,\%$ de $400$ .
II trimestre: $600 \times 1{,}5 = 900$ . El aumento fue $300$ .
III trimestre: $900 \times 1{,}5 = 1350$ . El aumento fue $450$ .
IV trimestre: $1350 \times 1{,}5 = 2025$ . El aumento fue $675$ .

Verificación de la relación inversa: $1350 \div 3 = 450$ ; y $\dfrac{450}{900} = 0{,}5 = 50\,\%$ . Por eso, conociendo el total del III trimestre ( $1350 = 150\,\%$ ) se puede recuperar la cantidad del trimestre anterior dividiendo entre $3$ (una parte) y multiplicando por $2$ (dos partes, que son el $100\,\%$ del II trimestre): $450 \times 2 = 900$ .

Variación total: $2025 - 400 = 1625$ cuyes más que al inicio.

Ejercicio 2

Tabla de afirmaciones y su fundamentación

Afirmación	Fundamentación
$150\,\%$ equivale a $1{,}5$ .	Un porcentaje es una razón con denominador $100$ : $\dfrac{150}{100} = 1{,}5$ .
Si $M$ aumenta en un $50\,\%$ , entonces $M + 50\,\%\,M = 150\,\%\,M = 1{,}5M$ .	El porcentaje es una fracción sobre $100$ ; $150\,\%$ significa $150$ por cada $100$ , que se simplifica a $1{,}5$ .
Para calcular la cantidad del IV trimestre se multiplica por $1{,}5$ ; para averiguar los trimestres anteriores se usa la operación contraria, la división.	La multiplicación y la división son operaciones inversas: para todo $d \ne 0$ , $c \cdot d \div d = c$ .
Si multiplicamos $1350 \times 1{,}5 = 2025$ , hallamos la cantidad de cuyes del IV trimestre.	Analogía: multiplicar por $1{,}5$ una pizza es tomar la pizza entera más su mitad.
Para obtener el resultado, restamos de la cantidad final la cantidad inicial.	La suma y la resta se relacionan con la manipulación de cantidades; restar la cantidad inicial de la final cuantifica el cambio o la variación entre dos estados.

Ejercicio 3

Contraejemplo útil

No es correcto leer " $M + 50\,\%$ " como $M + 50$ . Contraejemplo: si $M = 400$ , entonces $M + 50 = 450$ , pero el aumento real del $50\,\%$ es $400 + 0{,}5 \cdot 400 = 600$ . La afirmación correcta es $M + 0{,}5M = 1{,}5M$ .

Ejercicio 4

Idea metodológica de la sección 2.4.2

Para fundamentar una afirmación con una analogía hay que: (a) elegir términos comparativos adecuados, (b) establecer una relación lógica entre ellos, y (c) adaptar la explicación al contexto. La justificación debe apoyarse en las relaciones entre números, sus operaciones y propiedades, apoyándose en ejemplos que validen la afirmación y en contraejemplos que la refuten o la precisen.

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