Argumentación matemática y afirmaciones sobre los conjuntos numéricos

📄 teoria matematica 🎓 secundaria Secundaria Perú 🇵🇪 PE 🗣 Español

Página 18

18 de 22

Página 18

Anterior Página 18 / 22 Siguiente

Respuesta rápida

$150\,\% = 1.5$ ; secuencia $400 \to 600 \to 900 \to 1350 \to 2025$ , con $2025 = 400 \times 1.5^{4}$ y $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ .

📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 18

Fascículo para el desarrollo de la competencia Resuelve problemas de cantidad · 2024

Ejercicio 1

Ejemplo — Crecimiento del 150 % (diagrama de la página)

En el esquema, cada trimestre la cantidad se multiplica por $1.5$ ( $150\,\%$ ).

El diagrama recuerda que $150\,\%$ equivale a $1.5$ , porque $M + 50\,\%\,M = 150\,\%\,M = 1.5\,M$ .
Cantidad inicial: $400$ . Primer trimestre: $400 \times 1.5 = 600$ .
Segundo trimestre: $600 \times 1.5 = 900$ .
Tercer trimestre: $900 \times 1.5 = 1350$ .
Cuarto trimestre: $1350 \times 1.5 = 2025$ , que también se escribe $2025 = 400 \times 1.5^{4}$ .
Para obtener un valor anterior se hace la operación inversa, dividir entre $1.5$ : $2025 \div 1.5 = 1350$ ; $1350 \div 1.5 = 900$ .

Respuesta

$400$ , $600$ , $900$ , $1350$ y $2025$ ; cada valor es $1.5$ veces el anterior y $1.5$ veces el posterior al dividir.

Ejercicio 1

Elabora afirmaciones sobre las posibles relaciones entre números naturales, enteros, racionales y reales, y sus operaciones y propiedades, justificándolas con ejemplos y contraejemplos.

Parte 1.a

Afirmación: todo número natural es entero, racional y real.

Se comparan los conjuntos numéricos por inclusión: los naturales están dentro de los enteros, estos dentro de los racionales y estos dentro de los reales.
Los racionales son los que se escriben como fracción $\frac{a}{b}$ con $b \ne 0$ , y todo entero cumple eso: $5 = \frac{5}{1}$ .

Respuesta

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ .

Parte 1.b

Afirmación (con contraejemplo): no todo número racional es natural.

Se busca un número que sea fracción pero no cuente objetos completos.
Contraejemplo: $\frac{3}{4} \in \mathbb{Q}$ , pero $\frac{3}{4} \notin \mathbb{N}$ ; del mismo modo $3 \div 2 = 1.5 \notin \mathbb{Z}$ .

Respuesta

$\frac{3}{4} \in \mathbb{Q}$ y $\frac{3}{4} \notin \mathbb{N}$ .

Parte 1.c

Afirmación: al multiplicar por el racional $1.5 = \frac{3}{2}$ un número natural puedo obtener otro natural.

Se sustituye el porcentaje por su forma decimal y fraccionaria: $150\,\% = 1.5 = \frac{3}{2}$ .
Se opera con el valor inicial del diagrama: $400 \times \frac{3}{2} = \frac{1200}{2} = 600$ .

Respuesta

$400 \times 1.5 = 600 \in \mathbb{N}$ .

Parte 1.d

Afirmación: restar la cantidad final menos la inicial permite expresar el aumento como porcentaje.

Aumento absoluto: $600 - 400 = 200$ .
Se compara con la cantidad inicial: $\frac{200}{400} = \frac{1}{2}$ .
Como fracción decimal: $\frac{1}{2} = 0.5 = 50\,\%$ .

Respuesta

el aumento de $400$ a $600$ es del $50\,\%$ .

Ejercicio 2

¿Por qué la argumentación es una capacidad que debe desarrollarse en matemática?

La página señala que la argumentación permite expresar y respaldar una posición con fundamentos, razonar sobre hechos y persuadir o informar a otros.
En matemática no basta con dar el resultado: hay que explicar por qué es válido, usando propiedades, ejemplos y contraejemplos.
Según Ríos-Cuesta (2021) y Solar y Deulofeu (2016), se desarrolla con tareas abiertas, participación, gestión del error y preguntas específicas del docente.

Respuesta orientativa: argumentar es justificar con razones y evidencias lo que se afirma; en matemática se aprende formulando afirmaciones, buscando ejemplos y contraejemplos y comunicando el razonamiento.

¿Te fue útil esta página?