Modelo matemático y eficiencia de conversión (EC) para decidir cuándo vender cerdos

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Respuesta rápida

Vender cuando $p_{v}=p_{a}\,EC(t)$ y $EC$ supera $2{,}59$ . 2) $B(t)=p_{v}P(t)-p_{a}A(t)-CF\,t$ ; con los datos, óptimo a los 3 meses (48 S/).

📚 exercise matematica ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 8 min lectura

Solución — Página 21

Fascículo para el desarrollo de la competencia Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio · 2024

Ejercicio 1

¿En qué momento es más rentable vender los cerdos?

Definimos las variables: $t$ = tiempo de engorde (meses); $P(t)$ = peso vivo del cerdo (kg); $A(t)$ = alimento consumido acumulado (kg); $p_{v}$ = precio de venta del cerdo vivo (S/ por kg); $p_{a}$ = precio del alimento balanceado (S/ por kg); $CF$ = costos fijos (sanidad, mano de obra, instalaciones).
La eficiencia de conversión es $EC = \dfrac{A(t)}{P(t)-P_{0}}$ , donde $P_{0}$ es el peso inicial. Como se busca $EC < 2{,}59$ , cada kilogramo extra de peso debe costar menos de $2{,}59$ kg de alimento.
El beneficio económico acumulado es $B(t)=p_{v}\,P(t)-p_{a}\,A(t)-CF$ .
Derivando respecto al tiempo, el criterio de optimalidad es que el ingreso marginal iguale al costo marginal: $\frac{dB}{dt}=p_{v}\,P'(t)-p_{a}\,A'(t)=0 \;\Rightarrow\; p_{v}=p_{a}\,EC(t).$
Mientras $p_{v}>p_{a}\,EC(t)$ conviene seguir engordando (cada kg nuevo deja ganancia). Cuando $p_{v}<p_{a}\,EC(t)$ , o cuando $EC$ supera $2{,}59$ , cada kg nuevo da pérdida: es el momento de vender.

Respuesta

Es más rentable vender cuando el beneficio marginal se anula, es decir, cuando $p_{v}=p_{a}\,EC(t)$ y la eficiencia de conversión deja de mejorar (deja de ser menor que $2{,}59$ ).

Ejercicio 2

¿Cómo formular un modelo para tomar esta decisión?

Parte 2.a

Ganancia de peso del cerdo

Modelamos el peso como función creciente y con rendimientos decrecientes: $P(t)=P_{0}+G(t)$ , con $G(t)$ = kg ganados.
La ganancia mensual $g_{i}=P(t_{i})-P(t_{i-1})$ disminuye con la edad.

Parte 2.b

Consumo de alimento

El consumo acumulado es $A(t)=\sum g_{i}\,EC_{i}$ , porque cada kg ganado exige $EC_{i}$ kg de alimento.
La EC aumenta con la edad (el cerdo se vuelve menos eficiente).

Parte 2.c

Costos

$C(t)=p_{a}\,A(t)+CF\cdot t$ , con $CF$ = costos fijos mensuales.

Parte 2.d

Ingresos

$I(t)=p_{v}\,P(t)$ , ya que se paga por kilogramo de cerdo vivo.

Parte 2.e

Modelo completo y decisión

Beneficio: $B(t)=p_{v}\,P(t)-p_{a}\,A(t)-CF\cdot t$ .
Se maximiza $B(t)$ : se deriva y se iguala a cero, $B'(t)=0$ , y se verifica la segunda derivada $B''(t)<0$ .

Parte 2.f

Aplicación numérica

Datos: $p_{v}=9\,$ S//kg, $p_{a}=2\,$ S//kg, $CF=30\,$ S//mes.

Mes	Ganancia (kg)	Alimento (kg)	$EC$	Ingreso (S/)	Costo (S/)	Beneficio (S/)	Acumulado (S/)
1	12	24	2,00	108	78	30	30
2	10	22	2,20	90	74	16	46
3	8	20	2,50	72	70	2	48
4	6	18	3,00	54	66	$-12$	36

El beneficio acumulado crece hasta el mes 3 y cae en el mes 4.
En el mes 4 la $EC=3{,}00>2{,}59$ : el alimento ya se convierte de forma ineficiente.

Respuesta

El modelo es $B(t)=p_{v}P(t)-p_{a}A(t)-CF\cdot t$ con $A(t)=\sum g_{i}EC_{i}$ ; según los datos, el momento óptimo de venta es a los 3 meses (beneficio acumulado máximo, 48 S/, con EC = 2,50 < 2,59).

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