Guía de resolución de la actividad de indagación (cono)
La página propone una secuencia de indagación (a–d) para construir y justificar las propiedades del cono como sólido de revolución. Se resuelve cada literal mostrando las fórmulas y un ejemplo con valores concretos.
Determinación de valores específicos
Altura en función del ángulo del sector circular. Al recortar un sector circular de radio L (generatriz) y ángulo central \alpha, se forma un cono cuyo radio de base es: r = \frac{\alpha}{360^\circ}\,L \quad \text{(con } \alpha \text{ en grados)} y su altura se obtiene por Pitágoras: h = \sqrt{L^{2} - r^{2}} Ejemplo: L = 10\,\text{cm}, \alpha = 120^\circ → r = \frac{120}{360}\cdot 10 = 3{,}33\,\text{cm}, h = \sqrt{100 - 11{,}11} = \sqrt{88{,}89} \approx 9{,}43\,\text{cm}.
Área de la base. A_{b} = \pi r^{2}. Con r = 3{,}33\,\text{cm}: A_{b} = \pi (3{,}33)^{2} \approx 34{,}9\,\text{cm}^{2}.
Volumen. V = \dfrac{A_{b}\cdot h}{3} = \dfrac{\pi r^{2} h}{3}. Con los valores anteriores: V = \dfrac{34{,}9 \cdot 9{,}43}{3} \approx 109{,}7\,\text{cm}^{3}.
Uso de recursos tecnológicos
- Graficar el cono (p. ej. en GeoGebra 3D) con deslizadores para \alpha, r y h.
- Al variar los parámetros, recalcular V = \dfrac{\pi r^{2} h}{3} y registrar los valores en una tabla.
- Análisis cuantitativo: al duplicar r el volumen se multiplica por 4 (relación cuadrática V \propto r^{2}); al duplicar h el volumen se duplica (V \propto h).
Diseño del prototipo del vaso ecológico
El vaso cónico debe reconocer: vértice, base circular (radio r), altura h, generatriz L y ángulo del sector. Ejemplo: para un vaso de r = 4\,\text{cm} y h = 9\,\text{cm}, L = \sqrt{4^{2}+9^{2}} = \sqrt{97} \approx 9{,}85\,\text{cm} y el sector se traza con \alpha = \dfrac{r}{L}\cdot 360^\circ \approx 146^\circ.
Argumentación con sustento matemático
El cono es un sólido de revolución generado al girar un triángulo rectángulo alrededor de un cateto. La relación L^{2} = r^{2} + h^{2} explica por qué la altura depende del radio y de la generatriz; el volumen V = \frac{1}{3}\pi r^{2} h justifica que pequeñas variaciones del radio produzcan grandes cambios de volumen. Así se valida el diseño del vaso en el contexto planteado.
Se aplican r=\frac{\alpha}{360^\circ}L, h=\sqrt{L^2-r^2}, A_b=\pi r^2 y V=\frac{\pi r^2 h}{3}; se grafican variaciones y se argumenta la relación cuadrática volumen-radio.
