Orientaciones para la indagación en matemática: sectores circulares y conos de revolución

Reconocer las características de un círculo, de un sector circular y de un cono de revolución.

1. Círculo: conjunto de puntos del plano que equidistan de un centro O una distancia constante r (radio). Su perímetro mide C = 2\pi r y su área A = \pi r^{2}.
2. Sector circular: porción del círculo limitada por dos radios y el arco comprendido entre ellos. Si el ángulo central es \theta, su arco mide L = \frac{\theta}{360^\circ}\cdot 2\pi r y su área A_{s} = \frac{\theta}{360^\circ}\cdot \pi r^{2}.
3. Cono de revolución: sólido generado al girar un triángulo rectángulo alrededor de un cateto. Sus elementos son: radio de la base R, altura h, generatriz g (hipotenusa) y vértice. Cumple el teorema de Pitágoras g^{2} = R^{2} + h^{2}.
4. Relación clave: al enrollar el sector circular se forma el cono; el arco del sector se convierte en la circunferencia de la base, y los radios del sector en las generatrices.

Trazar sectores de 10°, 30° y 50° con r = 9\,\text{cm}, recortarlos y formar conos rectos.

1. La generatriz del cono es el radio del sector: g = r = 9\,\text{cm} (constante en los tres casos).
2. El arco del sector se convierte en la circunferencia de la base: \frac{\theta}{360^\circ}\cdot 2\pi(9) = 2\pi R, de donde R = \frac{9\theta}{360^\circ} = \frac{\theta}{40}.
3. Altura del cono: h = \sqrt{g^{2} - R^{2}} = \sqrt{81 - R^{2}}.
4. Volumen: V = \frac{1}{3}\pi R^{2} h.