Del modelo real al modelo matemático: el cono y sus fórmulas

¿Cuáles son las características de un cono?

1. Es un cuerpo redondo generado al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos.
2. Tiene una sola base, que es un círculo de radio r.
3. Su superficie lateral es curva y termina en un punto llamado vértice o cúspide.
4. Sus elementos medibles son el radio r, la altura h (distancia del vértice al centro de la base) y la generatriz g (segmento del vértice a un punto del borde de la base).
5. Altura, radio y generatriz forman un triángulo rectángulo, por lo que g^{2}=h^{2}+r^{2}, es decir, g=\sqrt{h^{2}+r^{2}}.

¿Cómo es su desarrollo?

1. Al cortar la superficie lateral por una generatriz y desplegarla se obtiene un sector circular de radio g.
2. La longitud del arco de ese sector es igual al perímetro de la base: 2\pi r.
3. El ángulo central del sector es \theta = 360^{\circ}\cdot\dfrac{r}{g}.
4. A ese sector se le añade, pegada por el arco, la base circular de radio r.

Respecto a su desarrollo, ¿cuál es la ventaja de este frente a otros diseños?

1. El desarrollo plano permite medir el material con exactitud, sin superponer ni dejar huecos.
2. El sector circular se traza con compás tomando g como radio, y su ángulo \theta se calcula con una sola razón.
3. Se puede optimizar la lámina: varias piezas encajan mejor sobre el rectángulo de cartón o cartulina, reduciendo el desperdicio.
4. Es más económico y rápido que moldear el vaso por soplado o por impresión 3D.

¿Cuánto material se empleará en una pieza del vaso?

1. El material corresponde al área total de la superficie del cono.
2. Área lateral: A_{L}=\pi\cdot r\cdot g.
3. Área total (con base): A_{T}=\pi\cdot r\cdot g+\pi\cdot r^{2}.
4. Volumen: V=\dfrac{1}{3}\,\pi\cdot r^{2}\cdot h.
5. Ejemplo con r=3{,}5 cm y h=10 cm:
6. g=\sqrt{3{,}5^{2}+10^{2}}=\sqrt{12{,}25+100}=\sqrt{112{,}25}\approx 10{,}60 cm.
7. A_{L}=\pi\cdot 3{,}5\cdot 10{,}60\approx 116{,}55 cm^{2}.
8. A_{T}=116{,}55+\pi\cdot 3{,}5^{2}=116{,}55+38{,}48\approx 155{,}03 cm^{2}.
9. V=\dfrac{1}{3}\pi\cdot 12{,}25\cdot 10=\dfrac{122{,}5\pi}{3}\approx 128{,}28 cm^{3}.