Estrategias heurísticas: diagramas de árbol, busca patrones, lista sistemática y generaliza
Respuesta rápida
- Dúos mixtos posibles: 6 (3 × 2)
- Fila 75 de Pascal — segundo elemento: 74
- Suma fila 20 de Pascal: 524 288 (= 2¹⁹)
- Total triángulos en figura: 10 (4+3+2+1)
Solución — Página 11
Resolvamos problemas 4 : manual para el docente 2018 · 2018
Estrategia 1 — Diagrama de árbol (dúos mixtos)
Un productor de cumbia elige entre 3 cantantes mujeres (Rosa, Ana, Nancy) y 2 varones (José, Raúl) para armar un dúo mixto.
¿Cuántos dúos mixtos diferentes puede formar?
- Cada mujer puede combinarse con cada varón.
- Rosa → José, Rosa → Raúl (2 opciones)
- Ana → José, Ana → Raúl (2 opciones)
- Nancy → José, Nancy → Raúl (2 opciones)
- Total = 3 \times 2 = 6 dúos mixtos.
Respuesta: 6 dúos mixtos diferentes.
Estrategia 2 — Busca patrones (triángulo de Pascal)
El triángulo de Pascal hasta la fila 6:
\begin{array}{c} 1\\ 1\quad 1\\ 1\quad 2\quad 1\\ 1\quad 3\quad 3\quad 1\\ 1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1\\ 1\quad 5\quad 10\quad 10\quad 5\quad 1 \end{array}
Tres filas siguientes:
- Fila 7: 1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1
- Fila 8: 1\quad 7\quad 21\quad 35\quad 35\quad 21\quad 7\quad 1
- Fila 9: 1\quad 8\quad 28\quad 56\quad 70\quad 56\quad 28\quad 8\quad 1
¿Qué número sigue al 1 en la fila 75?
En la fila n (comenzando desde fila 1 = solo "1"), el segundo elemento es n-1.
- Fila 75 → segundo elemento = 74.
¿Cuál es la suma de los números de la fila 20?
La suma de los elementos de la fila n es 2^{n-1}.
- Fila 20: 2^{19} = 524{,}288
Patrones en las diagonales:
| Diagonal | Secuencia |
|---|---|
| 1ª | 1, 1, 1, 1, \ldots (todos unos) |
| 2ª | 1, 2, 3, 4, \ldots (números naturales) |
| 3ª | 1, 3, 6, 10, \ldots (números triangulares) |
| 4ª | 1, 4, 10, 20, \ldots (números tetraédricos) |
Estrategia 3 — Haz una lista sistemática (conteo de triángulos)
¿Cuántos triángulos hay en la figura con 4 triángulos etiquetados a, b, c, d?
- Triángulos con una sola letra: a, b, c, d → 4 triángulos
- Triángulos con dos letras contiguas: ab, bc, cd → 3 triángulos
- Triángulos con tres letras contiguas: abc, bcd → 2 triángulos
- Triángulo completo (cuatro letras): abcd → 1 triángulo
Total: 4 + 3 + 2 + 1 = 10 triángulos.
Estrategia 4 — Generaliza
Estrategia que consiste en simbolizar expresiones o identificar si el problema particular responde a una propiedad general (conocido como la paradoja del inventor). A veces conviene investigar más de lo que se pide explícitamente.
Preguntas que la gente también hace
¿Cómo se usa el diagrama de árbol para contar combinaciones?
¿Cuál es el patrón de las diagonales del triángulo de Pascal?
¿Cómo hacer una lista sistemática para no omitir casos?
¿Cuántos triángulos hay en una figura dividida en n partes?
¿Qué es generalizar en la resolución de problemas matemáticos?
- • Principios de adición y multiplicación en conteo
- • Noción de combinaciones y permutaciones básicas
- • Ver pág. 10: estrategias heurísticas anteriores (ensayo y error, trabajar hacia atrás)
📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 2189 caracteres
Solución:
Tomás, Alfredo,Alberto, Roberto
Tomás Alfredo Alberto Roberto +
Diagramas de árbol
Se suelen utilizar en conteos de casos posibles o para hacer listas sistemáticas. Es la representación gráfica de los principios de adición y multiplicación.
Ejemplo: Un productor de cumbia quiere armar un dúo mixto (varón y mujer). Puede elegir entre 3cantantes mujeres y 2 cantantes varones. jCuántos dúos mixtos diferentes puede formar?
3. Otras estrategias
Busca patrones
En algunos problemas es necesario experimentar con varios casos con el fin de encontrar pautas o regularidades que después se podrán emplear para llegar a la solución.
Ejemplo:
El arreglo mostrado se conoce como el triángulo de Pascal.
\begin{array}{c}1\\1\quad1\\1\quad3\quad3\quad1\\1\quad4\quad6\quad4\quad1\\1\quad5\quad10\quad10\quad5\quad1\end{array}
Escribe las tres filas siguientes de este arreglo.Como observas, cada fila empieza por uno.i Q U\acute{e} número sigue al 1 en la fila 75?, jcuál es la suma
de los números que ocupan la fila número veinte?,ipuedes encontrar un patrón en las diagonales del triángulo de Pascal?
Haz una lista sistematica
En los casos en que se requiere la enumeración de objetos matemáticos, es conveniente realizar un conteo o listado organizado, con el fin de no dejar de lado ninguna posibilidad. Esta estrategia es muy útil al buscar soluciones en una ecuación polinómica, para encontrar espacios muestrales o resolver problemas de permutaciones o combinaciones.
Ejemplo:
Solución:
. Contemos ahora los triángulos identificándolos porel número de letras:
Triángulos con una letra: a-b-c-d
Triángulos con dos letras: ab-bc-cd
Triángulos con tres letras: abc-bcd
Triángulos con cuatro letras: abcd
• En total tenemos:4+3+2+1=10 Itriángulos.
Generaliza
En algunos problemas puede ser muy útil simbolizar las expresiones o averiguar si lo que piden se refiere a un caso particular de alguna propiedad general; a esto se conoce como la paradoja del inventor. A veces, es conveniente investigar más de lo que piden.
ESTRATEGIASHEURISTICAS
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