Estadística: dispersión relativa y media aritmética — guía docente

Enunciado: Los estudiantes del grupo A intentan convencer al profesor de que el grupo B no tiene por qué haber sido necesariamente el mejor en el examen. Da un argumento matemático usando la información del diagrama.

Argumento adecuado (ejemplo): Si el diagrama es de caja y bigotes, la mediana del Grupo A podría ser mayor que la mediana del Grupo B aunque la media del Grupo B sea mayor. Un argumento válido es señalar que la mediana — que representa al estudiante típico — favorece al Grupo A, por lo tanto el Grupo B no fue necesariamente el mejor.

Enunciado: Equipo de fútbol americano: media = 245 lb, σ = 18 lb. Oponente: media = 195 lb, σ = 12 lb. ¿Cuál muestra mayor dispersión relativa?

Solución — Coeficiente de Variación (CV):

CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100\%

1. Equipo americano: CV_A = \frac{18}{245} \times 100\% = 7{,}35\%

2. Equipo oponente: CV_B = \frac{12}{195} \times 100\% = 6{,}15\%

3. Comparación: 7{,}35\% > 6{,}15\%, por lo tanto el equipo de fútbol americano tiene mayor dispersión relativa.

Respuesta: a) El equipo de fútbol americano

Enunciado: Datos de porcentaje de meta lograda por tres vendedores en 5 años:

¿Cuál vendedor es el más constante? (usar CV)

Juan: \bar{x} = \frac{76+88+90+86+79}{5} = \frac{419}{5} = 83{,}8 \sigma = \sqrt{\frac{(-7{,}8)^2+(4{,}2)^2+(6{,}2)^2+(2{,}2)^2+(-4{,}8)^2}{5}} = \sqrt{\frac{60{,}84+17{,}64+38{,}44+4{,}84+23{,}04}{5}} = \sqrt{28{,}96} \approx 5{,}38 CV_{Juan} = \frac{5{,}38}{83{,}8} \times 100\% \approx 6{,}42\%

Francisco: \bar{x} = \frac{104+88+110+88+123}{5} = \frac{513}{5} = 102{,}6 \sigma = \sqrt{\frac{(1{,}4)^2+(-14{,}6)^2+(7{,}4)^2+(-14{,}6)^2+(20{,}4)^2}{5}} = \sqrt{\frac{1{,}96+213{,}16+54{,}76+213{,}16+416{,}16}{5}} = \sqrt{179{,}84} \approx 13{,}41 CV_{Francisco} = \frac{13{,}41}{102{,}6} \times 100\% \approx 13{,}07\%

Menor CV → mayor constancia. CV_{Juan} = 6{,}42\% es el menor.

Respuesta: b) Juan

Enunciado: Luciana tiene media de 60 puntos en sus primeros 4 exámenes. En el quinto examen sacó 80 puntos. ¿Cuál es la nueva media?

2. Suma total con el quinto examen: S_5 = 240 + 80 = 320

3. Nueva media: \bar{x}_5 = \frac{320}{5} = 64

Respuesta: 64 puntos