Intervalos en la recta numérica — culturas peruanas (ejercicios 4 y 5) y fase Analizamos

Lectura

Tomando como referencia el nacimiento de Jesucristo, se ubican los periodos de las culturas peruanas en una línea de tiempo. La recta numérica permite visualizar simultáneamente varios intervalos y detectar en qué años coincidieron distintas culturas.

Línea de tiempo (valores aproximados en años d.C./a.C.):

Expresa en forma conjuntista cada intervalo de la tabla.

Chavín: \{x \in \mathbb{R} \mid -1200 \leq x \leq -400\}

Caral: \{x \in \mathbb{R} \mid -3000 \leq x \leq -1800\}

Mochica: \{x \in \mathbb{R} \mid 100 \leq x \leq 700\}

Chimú: \{x \in \mathbb{R} \mid 900 \leq x \leq 1470\}

Paracas: \{x \in \mathbb{R} \mid -700 \leq x \leq 200\}

Inca: \{x \in \mathbb{R} \mid 1100 \leq x \leq 1532\}

Pregunta A: ¿Entre qué años coincidieron la cultura chavín y la paracas?

Paso 1 — Identificar los intervalos: \text{Chavín} = [-1200;\,-400] \text{Paracas} = [-700;\,200]

Paso 2 — Calcular la intersección A \cap B: \max(-1200,\,-700) = -700 \min(-400,\,200) = -400

Paso 3 — Resultado: \text{Chavín} \cap \text{Paracas} = [-700;\,-400]

Pregunta B: ¿Entre qué años se desarrolló la cultura chavín pero no la paracas?

Paso 1 — Calcular la diferencia \text{Chavín} \setminus \text{Paracas}: [-1200;\,-400] \setminus [-700;\,200]

Paso 2 — Se elimina la parte que Paracas comparte con Chavín (desde -700 hasta -400): \text{Resultado} = [-1200;\,-700[

Respuesta: [-1200;\,-700[ (incluye -1200, excluye -700).

Pregunta C: Representa simbólicamente y en intervalos el tiempo de desarrollo de las culturas chavín y chimú.

\text{Chavín} = [-1200;\,-400] \text{Chimú} = [+900;\,+1470]

Nota: Los intervalos son disjuntos (\text{Chavín} \cap \text{Chimú} = \emptyset), por lo que ambas culturas no coincidieron en el tiempo.

Diagrama 1

Línea de tiempo de culturas peruanas con sus intervalos

gantt
  title Culturas peruanas en la recta numérica
  dateFormat YYYY
  axisFormat %Y
  section Culturas
  Caral        :done, caral,    -3000-01-01, -1800-01-01
  Chavín       :done, chavin,   -1200-01-01, -0400-01-01
  Paracas      :done, paracas,  -0700-01-01, 0200-01-01
  Mochica      :done, mochica,  0100-01-01, 0700-01-01
  Chimú        :done, chimu,    0900-01-01, 1470-01-01
  Inca         :done, inca,     1100-01-01, 1532-01-01

Glosario

• Intervalo cerrado [a;b]: conjunto de reales x tales que a \leq x \leq b; incluye ambos extremos.
• Intervalo semiabierto [a;b[: incluye a, excluye b.
• Notación conjuntista: forma de escribir un conjunto usando llaves y condición, p. ej. \{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b\}.
• Intersección (A \cap B): elementos que pertenecen a ambos conjuntos simultáneamente.
• Diferencia (A \setminus B): elementos de A que no están en B.