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Reflexionamos sobre el desarrollo y Analizamos — Progresión geométrica (tablero de ajedrez)

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Respuesta rápida

Casillero 5: 16 ( $2^4$ ); Casillero 64: $2^{63}$
$S_n = \dfrac{a_n \cdot r - a_1}{r - 1},\ r \neq 1$
$S_{64} = 2^{64} - 1 = 18\,446\,744\,073\,709\,551\,615$ granos

📚 exercise matematica ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 47

Resolvamos problemas 4 : manual para el docente 2018 · 2018

Ejercicio 3

Completa la tabla para expresar la cantidad de trigo en cada casillero como potencia de 2:

N.° casillero	Cantidad de trigo	En forma de potencia
1	1	$2^0$
2	2	$2^1$
3	4	$2^2$
4	8	$2^3$
5	16	$2^4$
64	$2^{63}$	$2^{63}$

⚠️ El OCR registró "6" en casillero 5 (cantidad de trigo), pero el valor correcto es 16 ( $2^4 = 16$ ), pues la progresión geométrica tiene razón $r = 2$ .

Patrón: Casillero $n$ → Cantidad $= 2^{n-1}$

Ejercicio 4

Escribe la expresión matemática que modela la suma de la situación inicial.

$S_n = \frac{a_n \cdot r - a_1}{r - 1}, \quad r \neq 1$

Verificación: Esta es una forma equivalente a la fórmula estándar: $S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}$ Puesto que $a_n \cdot r = a_1 r^{n-1} \cdot r = a_1 r^n$ , entonces $a_n r - a_1 = a_1(r^n - 1)$ . ✓

Ejercicio 5

¿Cuántos granos de trigo recibió el inventor del juego?

Datos: $a_1 = 1$ , $r = 2$ , $n = 64$ , $a_{64} = 2^{63}$

$S_{64} = \frac{a_{64} \cdot r - a_1}{r - 1} = \frac{2^{63} \cdot 2 - 1}{2 - 1} = \frac{2^{64} - 1}{1} = 2^{64} - 1$

$\boxed{S_{64} = 18\,446\,744\,073\,709\,551\,615 \text{ granos}}$

Reflexionamos sobre el desarrollo — Respuestas del equipo C

Ejercicio 1

** ¿Podrías haber resuelto la situación inicial de otra manera?

Respuesta: Sí, aplicando la suma de términos de una progresión geométrica finita.

Respuesta

Sí, aplicando la suma de términos de una progresión geométrica finita.

Ejercicio 2

** Describe y explica la estrategia seleccionada.

Analizamos — Situación A (preguntas de equipo)

Respuesta

Se halló la razón ( $r=2$ ), el término inicial ( $a_1=1$ ) y el término final ( $a_{64}=2^{63}$ ) de la progresión geométrica, para luego utilizar la fórmula $S_n = \frac{a_n \cdot r - a_1}{r-1}$ que permite encontrar la suma de términos de una progresión geométrica finita.

Ejercicio 1

** ¿Qué estrategia se utilizó para resolver la situación A?

Respuesta: Encontrar cada término de la progresión geométrica multiplicando el término anterior por la razón, exceptuando al primer término.

Respuesta

Encontrar cada término de la progresión geométrica multiplicando el término anterior por la razón, exceptuando al primer término.

Ejercicio 2

** Describe el procedimiento realizado en la resolución de la situación A.

Respuesta: El proceso utilizado para completar la tabla consiste en encontrar los términos de una progresión geométrica.

Respuesta

El proceso utilizado para completar la tabla consiste en encontrar los términos de una progresión geométrica.

Ejercicio 3

** ¿Qué aspectos del procedimiento son semejantes al utilizado en la situación inicial?

Respuesta: Que a partir del segundo término encontrado, es equivalente al anterior multiplicado por la razón ( $a_n = a_{n-1} \cdot r$ ).

Respuesta

Que a partir del segundo término encontrado, es equivalente al anterior multiplicado por la razón ( $a_n = a_{n-1} \cdot r$ ).

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