Practicamos — Conjuntos e Intervalos en ℝ

La masa corporal de José: más de 61 kg, a lo mucho 68 kg → masa actual m \in ]61; 68]. Bajará 1,5 kg → masa nueva m' = m - 1{,}5.

Paso a paso:

1. Límite inferior: m > 61 \Rightarrow m' > 61 - 1{,}5 = 59{,}5
2. Límite superior: m \leq 68 \Rightarrow m' \leq 68 - 1{,}5 = 66{,}5
3. Conjunto: M = \{x/x \in \mathbb{R}\,;\; 59{,}5 < x \leq 66{,}5\}

Plazo de pago: no menor de 2 años ni mayor de 5 → P = [2\,;\,5] años. ¿Puede pagar en 1 año y 11 meses?

Paso a paso:

1. Convertir: 1 año 11 meses = \dfrac{23}{12} \approx 1{,}917 años
2. Verificar: 1{,}917 < 2, por tanto 1{,}917 \notin [2\,;\,5]
3. Conclusión: no puede cancelar en ese plazo.

Dados A = [-3\,;\,1], B = [0\,;\,4], C = {]-5\,;\,2]} y (A \cap C) \cup (B - A) = [x\,;\,y], hallar x + y.

Paso a paso:

1. A \cap C = [-3\,;\,1] \cap {]-5\,;\,2]} = [-3\,;\,1]
2. B - A = \{x \in [0\,;\,4] : x \notin [-3\,;\,1]\} = {]1\,;\,4]}
3. (A \cap C) \cup (B - A) = [-3\,;\,1] \cup {]1\,;\,4]} = [-3\,;\,4]
4. Entonces x = -3, y = 4 → x + y = -3 + 4 = 1

Si (2x + 1) \in [-5\,;\,4[, determinar el intervalo al que pertenece x.

Paso a paso:

1. Plantear inecuación doble: -5 \leq 2x + 1 < 4
2. Restar 1 en todos los términos: -6 \leq 2x < 3
3. Dividir entre 2: -3 \leq x < \dfrac{3}{2}
4. x \in \left[-3\,;\, \dfrac{3}{2}\right[

Respuesta adecuada: plantea correctamente y obtiene x \in [-3\,;\,1{,}5[ Respuesta parcial: plantea correctamente pero comete errores de cálculo.

Dados A = [-2\,;\,5], B = {]1\,;\,3]}, C = {]-3\,;\,5]}, verificar cada afirmación.

Paso a paso:

II. (A \cup C)' = A - B

• A \cup C = [-2\,;\,5] \cup {]-3\,;\,5]} = {]-3\,;\,5]}
• (A \cup C)' = {]-\infty\,;\,-3]} \cup {]5\,;\,+\infty[}
• A - B = [-2\,;\,1] \cup {]3\,;\,5]} — NO es igual → FALSA

III. (A - B)' \cap C = \varnothing

• A - B = [-2\,;\,1] \cup {]3\,;\,5]}
• (A - B)' = {]-\infty\,;\,-2[} \cup {]1\,;\,3]} \cup {]5\,;\,+\infty[}
• (A - B)' \cap C = {]-3\,;\,-2[} \cup {]1\,;\,3]} \neq \varnothing → FALSA

IV. A \Delta C = (A - C) \cup (C - A) → definición de diferencia simétrica → VERDADERA

Determinar las proposiciones falsas.

• \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} = \mathbb{I} (irracionales) → VERDADERA

II. Todo número racional tiene su opuesto aditivo, excepto el cero.

• El opuesto aditivo de 0 es 0 mismo: 0 + 0 = 0, por tanto el 0 SÍ tiene opuesto aditivo.
• La excepción es incorrecta → FALSA

III. Todo número entero es un número racional.

• \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} (todo entero n = n/1) → VERDADERA

IV. Si x \in \mathbb{Q}, entonces x^{-1} también pertenece a \mathbb{Q}.

• Para x = 0 \in \mathbb{Q}, x^{-1} = 1/0 no existe → FALSA

Falsas: II y IV → Respuesta: b) IV, II