Números racionales e irracionales: propiedades y ejercicios 7–10

Enunciado: Entre los racionales \frac{a}{b} y \frac{c}{d} donde \frac{a}{b} < \frac{c}{d}, siempre se encuentra \frac{a+c}{b+d}. Encontrar cinco números entre \frac{1}{6} y \frac{3}{7}.

Nota: \frac{1}{6} \approx 0{,}1667 y \frac{3}{7} \approx 0{,}4286.

Paso 1 — primer mediante: \frac{1+3}{6+7} = \frac{4}{13} \approx 0{,}3077 \in \left(\frac{1}{6},\, \frac{3}{7}\right) \checkmark

Paso 2 — segundo mediante (entre \frac{1}{6} y \frac{4}{13}): \frac{1+4}{6+13} = \frac{5}{19} \approx 0{,}2632 \checkmark

Paso 3 — tercer mediante (entre \frac{4}{13} y \frac{3}{7}): \frac{4+3}{13+7} = \frac{7}{20} = 0{,}35 \checkmark

Paso 4 — cuarto mediante (entre \frac{1}{6} y \frac{5}{19}): \frac{1+5}{6+19} = \frac{6}{25} = 0{,}24 \checkmark

Paso 5 — quinto mediante (entre \frac{5}{19} y \frac{4}{13}): \frac{5+4}{19+13} = \frac{9}{32} \approx 0{,}2813 \checkmark

Enunciado: Hoja rectangular con lados x cm y 12 cm. Perímetro > 30 cm pero ≤ 40 cm. Expresar x en intervalo.

Paso 1 — plantear la desigualdad: 30 < 2(x + 12) \leq 40

Paso 2 — dividir por 2: 15 < x + 12 \leq 20

Paso 3 — despejar x: 3 < x \leq 8

Enunciado: En la figura, triángulo rectángulo con catetos 4 (horizontal, de 0 a 4) y 2 (vertical). ¿Qué número es el punto B en la recta numérica? ¿A qué conjunto pertenece?

Paso 1 — calcular la hipotenusa (= distancia OB): OB = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}

Paso 2 — clasificar el número: 2\sqrt{5} \notin \mathbb{Q} \Rightarrow 2\sqrt{5} \in \mathbb{I} \text{ (irracionales)}

Enunciado: Base de caja con forma de triángulo equilátero de lado a = 3\sqrt{2} cm. Calcular área y perímetro al centésimo.

Paso 1 — perímetro: P = 3a = 3 \cdot 3\sqrt{2} = 9\sqrt{2} \approx 9 \times 1{,}41421 = 12{,}7279\ldots \approx 12{,}73 \text{ cm}

Paso 2 — área del triángulo equilátero: A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (3\sqrt{2})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 18 = \frac{18\sqrt{3}}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{2}

Paso 3 — evaluar numéricamente: A = \frac{9 \times 1{,}73205\ldots}{2} = \frac{15{,}5885\ldots}{2} \approx 7{,}79 \text{ cm}^2