Desarrollo (70 minutos) — Aprendemos: Potenciación y Progresión Geométrica

Lectura

Esta página corresponde a la guía docente de la sección Desarrollo (70 minutos). El docente explica la estructura de la sección Aprendemos: se presenta una situación de contexto con preguntas retadoras y se organizan actividades por cada fase de la Resolución de Problemas.

El problema central es la leyenda del ajedrez: un inventor pidió al rey granos de trigo colocando 1 grano en el primer casillero, 2 en el segundo, 4 en el tercero, y así sucesivamente duplicando en cada casillero. ¿Cuántos granos en total?

Respuesta: El problema está asociado a la potenciación y la progresión geométrica.

Respuesta: A encontrar el total de granos de trigo que pidió en total el inventor.

Respuesta: La información necesaria se irá obteniendo en forma deductiva de acuerdo con la comprensión del problema propiamente dicho.

Respuesta: Sí, a los problemas que presentan situaciones de reproducción de bacterias.

Pregunta: ¿Qué estrategia te sirve para resolver la situación inicial?

Tarea 1: Asociar el número de casillero con la expresión del número de granos en cada casillero.

Patrón: el casillero n contiene 2^{n-1} granos.

Tarea 2: Expresar el total en forma abreviada.

S = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + \cdots + 2^{63}

Esta es una serie geométrica con primer término a = 1, razón r = 2 y n = 64 términos.

Aplicando la fórmula de la suma de progresión geométrica:

S = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} = \frac{1 \cdot (2^{64} - 1)}{2 - 1} = 2^{64} - 1

Calculando:

2^{64} = 18{,}446{,}744{,}073{,}709{,}551{,}616

S = 2^{64} - 1 = 18{,}446{,}744{,}073{,}709{,}551{,}615 \text{ granos de trigo}

Verificación: La fórmula para suma geométrica garantiza que S \cdot (r-1) = r^n - 1. Comprobamos: S \cdot 1 = 2^{64} - 1 ✓