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Desarrollo (70 minutos) — Aprendemos: Potenciación y Progresión Geométrica

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Respuesta rápida

Temas: potenciación y progresión geométrica
Objetivo: total de granos de trigo que pidió el inventor
Estrategia: buscar patrones (casillero n → 2^(n-1) granos)
Suma total: S = 1 + 2 + 2² + ... + 2⁶³ = 2⁶⁴ − 1 = 18 446 744 073 709 551 615

📚 theory matematica ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 7 min lectura

Solución — Página 46

Resolvamos problemas 4 : manual para el docente 2018 · 2018

Ejercicio 1

Lectura

Esta página corresponde a la guía docente de la sección Desarrollo (70 minutos). El docente explica la estructura de la sección Aprendemos: se presenta una situación de contexto con preguntas retadoras y se organizan actividades por cada fase de la Resolución de Problemas.

El problema central es la leyenda del ajedrez: un inventor pidió al rey granos de trigo colocando 1 grano en el primer casillero, 2 en el segundo, 4 en el tercero, y así sucesivamente duplicando en cada casillero. ¿Cuántos granos en total?

Ejercicio 1

— Fase: Comprendemos el problema

Ejercicio 1

** ¿Qué temas matemáticos están relacionados con la situación inicial?

Respuesta: El problema está asociado a la potenciación y la progresión geométrica.

Respuesta

El problema está asociado a la potenciación y la progresión geométrica.

Ejercicio 2

** ¿Sabes a qué quieres llegar? Explica.

Respuesta: A encontrar el total de granos de trigo que pidió en total el inventor.

Respuesta

A encontrar el total de granos de trigo que pidió en total el inventor.

Ejercicio 3

** ¿Tienes suficiente información para dar respuesta a las preguntas de la situación inicial?

Respuesta: La información necesaria se irá obteniendo en forma deductiva de acuerdo con la comprensión del problema propiamente dicho.

Respuesta

La información necesaria se irá obteniendo en forma deductiva de acuerdo con la comprensión del problema propiamente dicho.

Ejercicio 4

** ¿Es similar a algún otro problema que has resuelto antes?

Respuesta: Sí, a los problemas que presentan situaciones de reproducción de bacterias.

Respuesta

Sí, a los problemas que presentan situaciones de reproducción de bacterias.

Ejercicio 2

— Fase: Diseñamos o seleccionamos una estrategia

Pregunta: ¿Qué estrategia te sirve para resolver la situación inicial?

Casillero	Granos	Expresión en potencias
1	1	$2^0$
2	2	$2^1$
3	4	$2^2$
4	8	$2^3$
...	...	...
64	$2^{63}$	$2^{63}$

Respuesta

Buscar patrones.

Ejercicio 3

— Fase: Ejecutamos la estrategia

Tarea 1: Asociar el número de casillero con la expresión del número de granos en cada casillero.

Patrón: el casillero $n$ contiene $2^{n-1}$ granos.

Tarea 2: Expresar el total en forma abreviada.

$S = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + \cdots + 2^{63}$

Esta es una serie geométrica con primer término $a = 1$ , razón $r = 2$ y $n = 64$ términos.

Aplicando la fórmula de la suma de progresión geométrica:

$S = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} = \frac{1 \cdot (2^{64} - 1)}{2 - 1} = 2^{64} - 1$

Calculando:

$2^{64} = 18{,}446{,}744{,}073{,}709{,}551{,}616$

$S = 2^{64} - 1 = 18{,}446{,}744{,}073{,}709{,}551{,}615 \text{ granos de trigo}$

Verificación: La fórmula para suma geométrica garantiza que $S \cdot (r-1) = r^n - 1$ . Comprobamos: $S \cdot 1 = 2^{64} - 1$ ✓

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