Practicamos — Progresiones aritméticas y geométricas

Teresa pone herradura con 20 clavos: el primero cuesta 50 céntimos, cada siguiente vale 1 céntimo más.

Progresión aritmética: a_1 = 50, d = 1, n = 20 (en céntimos)

1. Fórmula: S_n = \dfrac{n}{2}\bigl(2a_1 + (n-1)d\bigr)
2. S_{20} = \dfrac{20}{2}\bigl(2\cdot50 + 19\cdot1\bigr) = 10\cdot119 = 1190 céntimos
3. Convertir: 1190 \text{ céntimos} = 11{,}90 \text{ soles}

Estacionamiento: 1,50 soles la primera hora, cada siguiente = doble de la anterior. 8 horas.

Progresión geométrica: a_1 = 1{,}50, r = 2, n = 8

1. Fórmula: S_n = a_1 \cdot \dfrac{r^n - 1}{r - 1}
2. S_8 = 1{,}50 \cdot \dfrac{2^8 - 1}{2 - 1} = 1{,}50 \cdot 255 = 382{,}5

Pelota cae desde 1 m; cada rebote sube la mitad del anterior. Quinto rebote.

Progresión geométrica: a_1 = 1 m (caída inicial), r = \tfrac{1}{2}

1. El término n-ésimo: a_n = a_1 \cdot r^{n-1}
2. Quinto rebote: a_5 = 1 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^4 = \dfrac{1}{16} = 0{,}0625 m

Examen: primera pregunta vale 2 pts, cada siguiente 3 pts más. Total = 40 pts. ¿Cuántas preguntas?

Progresión aritmética: a_1 = 2, d = 3, S_n = 40

1. S_n = \dfrac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) = \dfrac{n}{2}(4 + 3(n-1)) = \dfrac{n(3n+1)}{2} = 40
2. n(3n+1) = 80 \Rightarrow 3n^2 + n - 80 = 0
3. n = \dfrac{-1 + \sqrt{1 + 960}}{6} = \dfrac{-1 + 31}{6} = 5

Verificación tabla:

José ahorró S/6144 en enero; cada mes ahorra la mitad del mes anterior. Total acumulado hasta el octavo mes.

Progresión geométrica: a_1 = 6144, r = \tfrac{1}{2}, n = 8

1. S_8 = 6144 \cdot \dfrac{1 - (\tfrac{1}{2})^8}{1 - \tfrac{1}{2}} = 6144 \cdot 2 \cdot \left(1 - \dfrac{1}{256}\right)
2. = 12288 \cdot \dfrac{255}{256} = 12288 - 48 = 12240

Aparato con depreciación anual: queda el 80% del valor al inicio de cada año. Valor nuevo = S/20 000. Valor al finalizar el quinto año.

Progresión geométrica: a_1 = 20000, r = 0{,}8, n = 5

1. a_5 = 20000 \cdot (0{,}8)^5 = 20000 \cdot 0{,}32768 = 6553{,}60

(0{,}8)^5 = 0{,}8^2 \cdot 0{,}8^2 \cdot 0{,}8 = 0{,}64 \cdot 0{,}64 \cdot 0{,}8 = 0{,}4096 \cdot 0{,}8 = 0{,}32768