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Desarrollo (70 minutos) — Aprendemos: Maximización de ingresos en teatro

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Respuesta rápida

Precio óptimo: S/30 (incremento x=20)
Asistentes con precio óptimo: 300
Ingreso máximo: S/9 000
Función general: I(x) = (10+x)(500−10x) = −10x² + 400x + 5 000

📚 theory matematica ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 10 min lectura

Solución — Página 83

Resolvamos problemas 4 : manual para el docente 2018 · 2018

Ejercicio 1

Lectura

Situación: Un auditorio tiene capacidad para 500 personas. El precio de entrada es S/10,00. Por cada S/1 de incremento en el precio, asisten 10 personas menos. Se busca el precio que maximiza el ingreso total.

Ejercicio 1

— Comprendemos el problema

Ejercicio 1

** ¿Entiendes la situación inicial? Explica.

Respuesta: Se observa la relación entre el costo del boleto y el número de asistentes a la función de teatro.

Respuesta

Se observa la relación entre el costo del boleto y el número de asistentes a la función de teatro.

Ejercicio 2

** ¿Sabes a qué quieres llegar? Explica.

Respuesta: A encontrar el mayor incremento e ingreso posible.

Respuesta

A encontrar el mayor incremento e ingreso posible.

Ejercicio 3

** Datos necesarios.

Respuesta: Capacidad del auditorio: 500. Precio de entrada: S/10,00. Por cada S/1 de incremento → reducción de 10 asistentes.

Respuesta

Capacidad del auditorio: 500. Precio de entrada: S/10,00. Por cada S/1 de incremento → reducción de 10 asistentes.

Ejercicio 4

** ¿Es similar a algún otro problema resuelto antes?

Respuesta: Sí, es similar a problemas de maximización de utilidad o ganancia de un producto comercial.

Respuesta

Sí, es similar a problemas de maximización de utilidad o ganancia de un producto comercial.

Ejercicio 2

— Diseñamos la estrategia

Pregunta: ¿Qué estrategia te sirve?

Respuesta

Realizar un diagrama tabular para identificar el patrón de ingreso.

Ejercicio 3

— Ejecutamos la estrategia

Paso 1 — Completar la tabla:

Precio unitario	Asistentes	Ingreso I(x)	Valor numérico
10	500	10 × 500	S/ 5 000
10 + 1 = 11	500 − 10(1) = 490	(11)(490)	S/ 5 390
10 + 2 = 12	500 − 10(2) = 480	(12)(480)	S/ 5 760
10 + 3 = 13	500 − 10(3) = 470	(13)(470)	S/ 6 110
10 + 4 = 14	500 − 10(4) = 460	(14)(460)	S/ 6 440
10 + x	500 − 10x	(10 + x)(500 − 10x)	—

Paso 2 — Generalizar la función:

$I(x) = (10 + x)(500 - 10x)$

Expandiendo: $I(x) = 5000 - 100x + 500x - 10x^2$ $I(x) = -10x^2 + 400x + 5000$

Paso 3 — Maximizar (vértice de la parábola):

$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{400}{2(-10)} = \frac{400}{20} = 20$

Paso 4 — Calcular ingreso máximo:

$I(20) = (10 + 20)(500 - 10 \cdot 20) = 30 \times 300 = \text{S/ }9{,}000$

Respuesta

El precio óptimo es S/30 (incremento de S/20), con 300 asistentes, generando un ingreso máximo de S/9 000.

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