Ejercicios 5–10: Funciones cuadráticas aplicadas (optimización y modelado)

Un edificio tiene 60 minidepartamentos a 500 c/u. Por cada 10 de aumento, 2 quedan sin alquilar. Modelar el ingreso.

Definición de variable: Sea x = número de aumentos de $10.

1. Departamentos alquilados: 60 - 2x
2. Precio por departamento: 500 + 10x
3. Función de ingreso: I(x) = (60 - 2x)(500 + 10x) = 30000 + 600x - 1000x - 20x^2 = -20x^2 - 400x + 30000

Pieza rectangular de latón: se cortan cuadrados de 1 cm en cada esquina, se dobla para caja abierta. Base difiere en 3 cm, volumen = 28 cm³.

Variables: largo L, ancho A.

1. Al cortar 1 cm: dimensiones de caja = (L-2) \times (A-2) \times 1
2. Condición de diferencia: (L-2)-(A-2)=3 \Rightarrow L-A=3 \Rightarrow L=A+3
3. Volumen: (L-2)(A-2)(1)=28
4. Sustituyendo L=A+3: (A+1)(A-2)=28 A^2 - A - 2 = 28 A^2 - A - 30 = 0 (A-6)(A+5)=0 \Rightarrow A=6 \text{ cm}
5. L = 6+3 = 9 cm

Jardín 60 × 80 pies. Vereda de ancho uniforme x alrededor. Área del nuevo jardín.

1. Nuevo ancho: 60-2x; nuevo largo: 80-2x
2. A(x)=(60-2x)(80-2x) =4800 - 120x - 160x + 4x^2 = 4x^2 - 280x + 4800

Respuesta adecuada: A(x) = 4x^2 - 280x + 4800

Respuesta parcial: plantea la situación pero comete errores de cálculo. Respuesta inadecuada: no responde o deja en blanco.

Campo petrolero: 30 pozos × 180 barriles/día. Por cada nuevo pozo, producción por pozo baja 5 barriles. Maximizar producción total P.

Variable: n = nuevos pozos.

1. Total pozos: 30+n
2. Producción por pozo: 180-5n
3. P(n)=(30+n)(180-5n) = 5400 - 150n + 180n - 5n^2 = -5n^2 + 30n + 5400
4. Vértice: n = \dfrac{-30}{2(-5)} = \dfrac{-30}{-10} = 3
5. P(3) = -5(9)+30(3)+5400 = -45+90+5400 = 5445 barriles

Dos autos parten juntos en ángulo recto. Tras 1 h, distancia = 20 km. Uno va 4 km/h más rápido.

Variable: v = velocidad del auto más lento.

1. Recorrido en 1h: auto 1 = v km; auto 2 = (v+4) km
2. Teorema de Pitágoras: v^2+(v+4)^2=20^2 v^2 + v^2 + 8v + 16 = 400 2v^2 + 8v - 384 = 0 v^2 + 4v - 192 = 0
3. Fórmula cuadrática: v = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 768}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{784}}{2} = \frac{-4 \pm 28}{2} v = 12 \text{ km/h}
4. Velocidad del más veloz: 12+4 = 16 km/h

I(h) = -100h^2 + 1000h + 7500, con h \geq 0. Ingreso máximo e ingreso nulo.

Ingreso máximo (vértice): h_{\text{max}} = \frac{-b}{2a} = \frac{-1000}{2(-100)} = 5 I(5) = -100(25)+1000(5)+7500 = -2500+5000+7500 = 10000

Ingreso nulo (I(h)=0): -100h^2+1000h+7500=0 h^2-10h-75=0 (h-15)(h+5)=0 \Rightarrow h=15

Respuesta adecuada: Para h=5 el ingreso es máximo; para h=15 el ingreso es nulo.

Respuesta parcial: plantea correctamente pero solo responde una de las preguntas. Respuesta inadecuada: no responde o deja en blanco.