a) Numera los vértices de un cubo y describe el trayecto de una hormiga que debe pasar por todas las aristas solo una vez, comenzando en el vértice 1. b) Identifica la geometría presente en las construcciones mostradas: pirámides de Egipto y la Biósfera de Montreal (Canadá).

a) No es posible: los 8 vértices del cubo tienen grado 3 (impar) y un recorrido de Euler requiere 0 o 2 vértices impares. b) Pirámide de base cuadrada y esfera.

Libro de Matemática 3

MINEDUC

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Figuras 3D: caras, aristas y vértices

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Respuesta rápida

9.a) Cubo y prisma rectangular (12 aristas). 9.b) Cubo y prisma rectangular. 9.c) Cubo, prismas y cilindro. 9.d) Cilindro, prisma rectangular y cono. 9.e) La esfera rueda en toda dirección. 10.a) Imposible (todos los vértices tienen grado impar). 10.b) Pirámide y esfera.

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Solución — Página 164

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Ejercicio 9

Observa las figuras 3D (pirámide triangular, prisma triangular, pirámide cuadrangular, cono, esfera, cilindro, prisma rectangular y cubo) y luego responde.

Parte 9.a

¿Cuáles figuras 3D tienen la misma cantidad de aristas?

Cuento las aristas de cada cuerpo.
Pirámide triangular o tetraedro: 6 aristas.
Prisma triangular: 9 aristas.
Pirámide cuadrangular: 8 aristas.
Cono: 1 arista curva (el borde de la base). Esfera: 0 aristas. Cilindro: 2 aristas curvas (los bordes de sus bases).
Prisma rectangular: 12 aristas. Cubo: 12 aristas.
Comparo las cantidades: solo el cubo y el prisma rectangular coinciden.

Respuesta

El cubo y el prisma rectangular (paralelepípedo) tienen la misma cantidad de aristas: $12$ aristas cada uno.

Parte 9.b

¿Cuáles tienen 6 caras, 12 aristas y 8 vértices?

Cuento las caras: pirámide triangular $4$ , prisma triangular $5$ , pirámide cuadrangular $5$ , cono $2$ , esfera $1$ , cilindro $3$ .
El prisma rectangular y el cubo tienen $6$ caras cada uno.
Verifico sus aristas: $12$ en ambos.
Verifico sus vértices: $8$ en ambos.
Compruebo con la relación de Euler $C + V - A = 2$ : $6 + 8 - 12 = 2$ .

Respuesta

El cubo y el prisma rectangular, porque ambos cumplen $6$ caras, $12$ aristas y $8$ vértices.

Parte 9.c

¿Cuáles se pueden apilar?, ¿por qué?

Para apilar una figura sobre otra necesito que tenga caras planas que sirvan de base y de apoyo superior.
El cubo, el prisma rectangular y el prisma triangular tienen todas sus caras planas: se apilan muy bien.
El cilindro tiene dos caras planas circulares paralelas: también se puede apilar.
La pirámide y el cono tienen una base plana pero terminan en punta, así que no reciben otra figura encima con estabilidad.
La esfera es curva en toda su superficie: rueda y no se sostiene apilada.

Respuesta

Se apilan el cubo, el prisma rectangular, el prisma triangular y el cilindro, porque tienen caras planas paralelas que sirven de base y apoyo.

Parte 9.d

¿Cuáles se usan mayoritariamente como envases?, ¿por qué?

Pienso en envases conocidos: latas de conserva y bebidas (cilindro), cajas de zapatos y de cereales (prisma rectangular), conos de helado y vasos de agua (cono).
Esos cuerpos tienen superficies planas o bases que permiten abrirlos, llenarlos y guardarlos sin que rueden.
Además ocupan el espacio de forma ordenada y son fáciles de fabricar doblando o cortando material laminar.

Respuesta

El cilindro, el prisma rectangular y el cono, porque permiten llenarse, cerrarse y almacenarse sin rodar.

Parte 9.e

¿Por qué una pelota de fútbol se asemeja a una esfera y no a un cilindro?

Una pelota debe rodar igual en cualquier dirección del campo.
La esfera es curva en todas direcciones, por eso rueda sin obstáculos hacia cualquier lado.
El cilindro solo rueda en una dirección (por su superficie curva) y en la otra se apoya en una cara plana.

Respuesta

Porque la esfera rueda en todas las direcciones, mientras el cilindro rueda solo en una dirección y se apoya en caras planas.

Ejercicio 10

Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno.

Parte 10.a

Trayecto de la hormiga por todas las aristas del cubo

Numero los vértices del cubo del $1$ al $8$ : $4$ en la cara superior y $4$ en la cara inferior.
Cuento cuántas aristas llegan a cada vértice: en un cubo llegan $3$ aristas a cada uno, es decir, todos los vértices tienen grado impar ( $3$ ).
Recuerdo la regla de Euler: un recorrido que pasa por cada arista exactamente una vez existe solo si hay $0$ o $2$ vértices de grado impar.
Aquí hay $8$ vértices impares, entonces el recorrido pedido no existe.
Para lograrlo habría que repetir aristas: con $8$ vértices impares hay que recorrer al menos $\frac{8-2}{2}=3$ aristas dos veces.

Respuesta

No es posible: la hormiga no puede pasar por las $12$ aristas una sola vez partiendo del vértice $1$ , porque los $8$ vértices del cubo tienen grado impar.

Parte 10.b

Construcciones del mundo con geometría

Observo la fotografía de las pirámides de Egipto: son pirámides de base cuadrada, con $4$ caras triangulares, $1$ base cuadrada, $8$ aristas y $5$ vértices.
Observo la fotografía de la Biósfera de Montreal (Canadá): es una cúpula geodésica con forma de esfera, construida con muchos triángulos unidos.
Comparo con las figuras de la página: la pirámide se parece a la pirámide cuadrangular y la Biósfera, a la esfera.

Respuesta

En las pirámides de Egipto está presente la pirámide de base cuadrada, y en la Biósfera de Montreal, la esfera (cúpula formada por triángulos).

Contenido de la página

Tema 4 · Figuras 3D

9. Observa las figuras 3D y luego responde en tu cuaderno.

Figuras mostradas: pirámide triangular, prisma triangular, pirámide cuadrangular (roja), cono, esfera, cilindro, prisma rectangular y cubo.

a. ¿Cuáles figuras 3D tienen la misma cantidad de aristas?

b. ¿Cuáles tienen 6 caras, 12 aristas y 8 vértices?

c. ¿Cuáles se pueden apilar?, ¿por qué?

d. ¿Cuáles se usan mayoritariamente como envases?, ¿por qué?

e. ¿Por qué una pelota de fútbol se asemeja a una esfera y no a un cilindro?

10. Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno.

a. Numera los vértices de un cubo y luego describe el trayecto que tiene que recorrer una hormiga que debe pasar por todas las aristas solo una vez. Considera que la hormiga comienza su camino en el vértice 1.

b. Los estudiantes de 3° básico muestran algunas construcciones del mundo en las que está presente la geometría: «En las pirámides de Egipto» (fotografía de las pirámides) y «En un museo de Canadá llamado Biósfera de Montreal» (fotografía de la cúpula geodésica).

Página 162 · Unidad 2

Ejemplos resueltos

Comprobar la relación de Euler en el cubo.

El cubo tiene $C=6$ caras, $V=8$ vértices y $A=12$ aristas. Entonces $6 + 8 - 12 = 2$ , se cumple la relación.

Explicar por qué la hormiga no puede recorrer todas las aristas del cubo una sola vez.

En cada vértice del cubo llegan $3$ aristas (grado impar). Como hay $8$ vértices impares y un recorrido de Euler requiere $0$ o $2$ , el trayecto no existe.

Tabla

Figura 3D	Caras	Aristas	Vértices
Pirámide triangular	4	6	4
Prisma triangular	5	9	6
Pirámide cuadrangular	5	8	5
Cono	2	1 (curva)	0
Esfera	1 (curva)	0	0
Cilindro	3	2 (curvas)	0
Prisma rectangular	6	12	8
Cubo	6	12	8

Diagrama

graph TD
A[Cuerpos geometricos 3D] --> B[Poliedros: caras planas]
A --> C[Cuerpos redondos: superficies curvas]
B --> D[Prismas: 2 bases iguales]
B --> E[Piramides: 1 base y vertice comun]
D --> D1[Prisma triangular: 5 caras, 9 aristas, 6 vertices]
D --> D2[Prisma rectangular: 6 caras, 12 aristas, 8 vertices]
D --> D3[Cubo: 6 caras, 12 aristas, 8 vertices]
E --> E1[Piramide triangular: 4 caras, 6 aristas, 4 vertices]
E --> E2[Piramide cuadrangular: 5 caras, 8 aristas, 5 vertices]
C --> C1[Cono]
C --> C2[Cilindro]
C --> C3[Esfera]

Fórmulas y ecuaciones

Relación de Euler: $C + V - A = 2$

Recorrido de Euler: existe si hay $0$ o $2$ vértices de grado impar

C + V - A = 2

6 + 8 - 12 = 2

$\frac{8-2}{2}$ = 3

Glosario (7)

Cara: Superficie plana o curva que limita un cuerpo geométrico.
Arista: Línea donde se encuentran dos caras de un cuerpo geométrico.
Vértice: Punto donde se juntan tres o más aristas de un cuerpo geométrico.
Prisma: Cuerpo con dos bases iguales y paralelas y caras laterales planas.
Pirámide: Cuerpo con una sola base y caras laterales triangulares que terminan en un vértice.
Apilar: Poner un cuerpo sobre otro; se logra mejor con caras planas.
Cúpula geodésica: Estructura con forma de esfera formada por muchos triángulos unidos.

Preguntas para practicar

¿Cuáles figuras 3D tienen la misma cantidad de aristas?

El cubo y el prisma rectangular, con 12 aristas cada uno. También se pueden comparar el prisma triangular (9) y la pirámide cuadrangular (8), pero no coinciden.

¿Por qué una pelota de fútbol se asemeja a una esfera y no a un cilindro?

Porque la esfera es curva en todas las direcciones y rueda igual hacia cualquier lado, mientras que el cilindro rueda solo en una dirección y se sostiene sobre caras planas.