Marca los ángulos de las figuras 3D según las claves: rojo = 90°, azul = menos de 90°.

a) 90^; b) base 90^, vértice<90^; c) 90^

Libro de Matemática 3

MINEDUC

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Ángulos en figuras 2D y 3D: identificación de ángulos rectos y agudos

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Respuesta rápida

Triángulo 2. 7) Sí, es posible (acutángulo). 8) Cuadrado, rectángulo y triángulo rectángulo. 9) a) y c) ángulos de 90°; b) base 90°, vértice menor de 90°.

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Ejercicio 6

Observa los triángulos y luego responde: ¿En qué triángulo hay un ángulo de $90^\circ$ ?

Triángulo 1 (naranjo): los tres ángulos se ven agudos, menores que $90^\circ$ .
Triángulo 2 (verde): tiene una marca pequeña de escuadra en su vértice inferior izquierdo, señal de ángulo recto.
Triángulo 3 (celeste): es un triángulo obtusángulo, con un ángulo mayor que $90^\circ$ .

Respuesta

En el Triángulo 2 hay un ángulo de $90^\circ$ .

Ejercicio 7

¿Es posible que un triángulo tenga tres ángulos menores que $90^\circ$ ? Explica.

Recordemos que la suma de los ángulos interiores de todo triángulo es $180^\circ$ .
Si los tres ángulos fueran menores que $90^\circ$ , cada uno sería, a lo más, $89^\circ$ .
La suma máxima posible sería $89^\circ + 89^\circ + 89^\circ = 267^\circ$ , pero la suma real debe ser exactamente $180^\circ$ .
Además, cualquier terna de tres ángulos agudos puede sumar $180^\circ$ (por ejemplo $60^\circ + 60^\circ + 60^\circ = 180^\circ$ o $50^\circ + 70^\circ + 60^\circ = 180^\circ$ ).

Respuesta

Sí, es posible. Se llaman triángulos acutángulos: los tres ángulos son agudos y su suma es $180^\circ$ , por ejemplo el triángulo equilátero ( $60^\circ$ cada uno).

Ejercicio 8

Dibuja 3 figuras 2D diferentes que tengan al menos un ángulo de $90^\circ$ .

Cuadrado: sus 4 ángulos miden $90^\circ$ (tiene 4 ángulos rectos).
Rectángulo: sus 4 ángulos también miden $90^\circ$ .
Triángulo rectángulo: tiene exactamente 1 ángulo de $90^\circ$ y dos ángulos agudos que suman $90^\circ$ .

Respuesta

Se pueden dibujar, por ejemplo, un cuadrado, un rectángulo y un triángulo rectángulo; los tres contienen al menos un ángulo de $90^\circ$ (marcado con la escuadra pequeña).

Ejercicio 9

Marca los ángulos de las figuras 3D según las claves: ángulo de $90^\circ$ (rojo) y ángulo menor que $90^\circ$ (azul).

Parte 9.a

Cubo

Un cubo tiene 6 caras cuadradas y 12 aristas.
En cada vértice se juntan 3 aristas que forman ángulos de $90^\circ$ .

Respuesta

Todos los ángulos del cubo miden $90^\circ$ (marcar con rojo).

Parte 9.b

Pirámide de base cuadrada

La base es un cuadrado, por lo que los 4 ángulos de la base miden $90^\circ$ (rojo).
Las caras laterales son triángulos; el ángulo del vértice superior es menor que $90^\circ$ (azul).

Respuesta

Ángulos de la base cuadrada: $90^\circ$ (rojo). Ángulo del vértice superior y ángulos laterales: menores que $90^\circ$ (azul).

Parte 9.c

Prisma rectangular (paralelepípedo)

Sus caras son rectángulos.
En cada vértice las aristas forman ángulos de $90^\circ$ .

Respuesta

Todos los ángulos del prisma rectangular miden $90^\circ$ (marcar con rojo).

Contenido de la página

Tema 4 · Ángulos y transformaciones isométricas

6. Observa los triángulos y luego responde.

Triángulo 1 (naranjo)
Triángulo 2 (verde, con marca de ángulo recto)
Triángulo 3 (celeste)

¿En qué triángulo hay un ángulo de $90^\circ$ ? ______

7. ¿Es posible que un triángulo tenga tres ángulos menores que $90^\circ$ ? Explica.

8. Dibuja 3 figuras 2D diferentes que tengan al menos un ángulo de $90^\circ$ . (Cuadrícula de puntos)

9. Marca los ángulos de las figuras 3D según las claves.

🔴 Ángulos que miden $90^\circ$ .
🔵 Ángulos que miden menos de $90^\circ$ .

a. Cubo
b. Pirámide de base cuadrada
c. Prisma rectangular

Página 312 · Unidad 4

Ejemplos resueltos

En un triángulo, dos ángulos miden $40^\circ$ y $60^\circ$ . ¿Cuánto mide el tercer ángulo y qué tipo de triángulo es?

Suma conocida: $40^\circ + 60^\circ = 100^\circ$ . Tercer ángulo: $180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$ . Como los tres ángulos son menores que $90^\circ$ , el triángulo es acutángulo.

Tabla

Figura	N.º de ángulos de 90°	N.º de ángulos menores de 90°
Cubo (9.a)	8 vértices × 3 = 24	0
Pirámide base cuadrada (9.b)	4 (base)	Ángulo del vértice superior
Prisma rectangular (9.c)	24	0

Diagrama

graph TD
A[Ángulos] --> B[Recto = 90°]
A --> C[Agudo < 90°]
A --> D[Obtuso > 90°]
B --> E[Cuadrado, rectángulo, triángulo rectángulo]
C --> F[Triángulo acutángulo]

Fórmulas y ecuaciones

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es $180^\circ$

$\angle$ = $90^\circ$

$\angle$ < $90^\circ$

$\alpha$ + $\beta$ + $\gamma$ = $180^\circ$

Glosario (5)

Ángulo recto: Ángulo que mide exactamente 90°; se marca con una pequeña escuadra.
Ángulo agudo: Ángulo que mide menos de 90°.
Triángulo acutángulo: Triángulo cuyos tres ángulos son agudos (menores de 90°).
Triángulo rectángulo: Triángulo que tiene un ángulo recto de 90°.
Figura 3D: Cuerpo geométrico con tres dimensiones: largo, ancho y alto.

Preguntas para practicar

¿Por qué los ángulos de un cuadrado miden 90°?

Porque sus lados consecutivos son perpendiculares entre sí: al cortarse forman exactamente un ángulo recto de 90°. Por eso sus 4 ángulos son rectos.

Temas y conceptos clave

ÁngulosÁngulo rectoÁngulos agudosFiguras 2D y 3DÁngulo de 90°Ángulo menor de 90°Triángulo acutánguloTriángulo rectánguloCuboPirámidePrisma rectangular

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