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Ángulos entre 0° y 360°: cálculo de ángulos en figuras

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Respuesta rápida

1.a) $105^\circ$ ; 1.b) $55^\circ$ ; 1.c) $90^\circ$ ; 2.a) $135^\circ$ ; 2.b) $\alpha = 43^\circ$ , $\beta = 137^\circ$ .

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Solución — Página 31

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Ejercicio 1

Calcula la medida de los ángulos indicados.

Parte 1.a

En la figura, el $\angle AOC$ mide $75^\circ$ . ¿Cuánto mide el $\angle BOC$ ?

Los puntos $A$ , $O$ y $B$ están alineados, por lo que $\angle AOB = 180^\circ$ (ángulo extendido).
El rayo $OC$ divide ese ángulo en dos: $\angle AOC + \angle BOC = 180^\circ$ .
Sustituyo: $75^\circ + \angle BOC = 180^\circ$ .
Despejo: $\angle BOC = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$ .

Respuesta

$\angle BOC = 105^\circ$ .

Parte 1.b

En la figura, el $\angle ABC$ mide $305^\circ$ . ¿Cuánto mide el $\angle CBA$ ?

El $\angle ABC$ es un ángulo mayor que $180^\circ$ (cóncavo o reflejo).
El $\angle CBA$ es el ángulo convexo que completa la vuelta: $\angle ABC + \angle CBA = 360^\circ$ .
Sustituyo: $305^\circ + \angle CBA = 360^\circ$ .
Despejo: $\angle CBA = 360^\circ - 305^\circ = 55^\circ$ .

Respuesta

$\angle CBA = 55^\circ$ .

Parte 1.c

En la figura, $\angle RSP = \angle PSQ = 135^\circ$ . ¿Cuánto mide el $\angle QSR$ ?

Los tres ángulos tienen vértice común $S$ y cubren la vuelta completa: $\angle RSP + \angle PSQ + \angle QSR = 360^\circ$ .
Sustituyo: $135^\circ + 135^\circ + \angle QSR = 360^\circ$ .
Sumo: $270^\circ + \angle QSR = 360^\circ$ .
Despejo: $\angle QSR = 360^\circ - 270^\circ = 90^\circ$ .

Respuesta

$\angle QSR = 90^\circ$ .

Ejercicio 2

Calcula la medida de los ángulos pedidos en cada caso.

Parte 2.a

En la figura, el $\angle COA$ mide $225^\circ$ . ¿Cuánto mide el $\angle AOB$ ?

El $\angle COA$ es un ángulo reflejo (mayor que $180^\circ$ ).
El $\angle AOB$ es el ángulo convexo que completa la vuelta: $\angle COA + \angle AOB = 360^\circ$ .
Sustituyo: $225^\circ + \angle AOB = 360^\circ$ .
Despejo: $\angle AOB = 360^\circ - 225^\circ = 135^\circ$ .

Respuesta

$\angle AOB = 135^\circ$ .

Parte 2.b

En la figura se observa un ángulo de $43^\circ$ , un ángulo $\alpha$ y un ángulo $\beta$ formados por rectas que se cortan.

El ángulo de $43^\circ$ y el ángulo $\alpha$ son opuestos por el vértice, por lo que son iguales: $\alpha = 43^\circ$ .
El ángulo $\alpha$ y el ángulo $\beta$ son adyacentes y forman un ángulo extendido: $\alpha + \beta = 180^\circ$ .
Sustituyo: $43^\circ + \beta = 180^\circ$ .
Despejo: $\beta = 180^\circ - 43^\circ = 137^\circ$ .

Respuesta

$\alpha = 43^\circ$ y $\beta = 137^\circ$ .

Contenido de la página

Capítulo 4: Ángulos Ángulos entre 0° y 360°

1 Calcula la medida de los ángulos indicados.

a) En la figura, el $\angle AOC$ mide $75^\circ$ . ¿Cuánto mide el $\angle BOC$ ?

$\angle BOC = \square$

b) En la figura, el $\angle ABC$ mide $305^\circ$ . ¿Cuánto mide el $\angle CBA$ ?

$\angle CBA = \square$

c) En la figura, $\angle RSP = \angle PSQ = 135^\circ$ . ¿Cuánto mide el $\angle QSR$ ?

$\angle QSR = \square$

2 Calcula la medida de los ángulos pedidos en cada caso.

a) En la figura, el $\angle COA$ mide $225^\circ$ . ¿Cuánto mide el $\angle AOB$ ?

$\angle AOB = \square$

b) En la figura:

$\alpha = \square$

$\beta = \square$

Ejemplos resueltos

Si dos ángulos son suplementarios y uno mide $75^\circ$ , ¿cuánto mide el otro?

$180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$ .

Fórmulas y ecuaciones

$\text{Ángulos suplementarios: }$ a + b = $180^\circ$

$\text{Vuelta completa: }$ a + b + c = $360^\circ$

$\angle$ AOC + $\angle$ BOC = $180^\circ$

$\angle$ ABC + $\angle$ CBA = $360^\circ$

$\angle$ RSP + $\angle$ PSQ + $\angle$ QSR = $360^\circ$

$\angle$ COA + $\angle$ AOB = $360^\circ$

$\alpha$ + $\beta$ = $180^\circ$

Glosario (5)

Ángulo: Figura formada por dos rayos que comparten un origen llamado vértice.
Ángulo extendido: Ángulo que mide exactamente 180°.
Ángulo reflejo: Ángulo que mide más de 180° y menos de 360°.
Ángulos opuestos por el vértice: Ángulos que comparten el vértice y cuyos lados son prolongaciones opuestas; tienen igual medida.
Ángulos adyacentes: Ángulos que comparten un lado y un vértice, y suman un ángulo extendido.

Temas y conceptos clave

Ángulos entre 0° y 360°Cálculo de ángulos en figurasángulo extendidoángulo reflejoángulos opuestos por el vérticeángulos adyacentesvuelta completa 360°

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